杨辉三角数表
公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现，从1开始，任意多个连续自然数之和构成三角形数。如图，毕达哥拉斯学派以一个点代表1，两个点代表2，三个点代表3，……
诸如1、3、6、10、15、……这类数就叫做三角形数。
将两个同样的三角形数(如15)排列成的三角形点阵，按照如图所示摆放。
很容易得到：1+2+3+4+5=5×(5+1)÷2.
推而广之：1+2+3+…+n=n×(n+1)÷2.
毕达哥拉斯学派通过将圆点代表具体的数，并且按照一定的规则排序，可以将这些数中包含的规律直观的展现出来！
除此以外，毕达哥拉斯学派还构造出了正方形数，并推出了它们的公式，如图。
诸如1、4、9、16、25、……这类数就叫做正方形数。
每个正方形数都是从1开始的连续奇数之和，第n个正方形数为：
1+3+5+…+(2n-1)
由图可知正方形数的另一种表达公式为：
1+3+5+…+(2n-1)=n2
实际上，不管是三角形数还是正方形数，构成它们的数构成的数列都是等差数列。关于等差数列的基本知识，我们略做复习。
热身练习
已知数列2，6，10，14…122．
（1）这个数列一共有几项？
（2）这个数列的和是多少？
（3）这个数列第20项是多少？
解析：（1）项数=(122−2)÷4+1=31
（2）和=(2+122)×31÷2=1922
（3）2+4×(20−1)=78
下面我们将等差数列排列成三角形数表，看看又会呈现出什么规律呢？
例题1
把奇数排列成如图所示的三角形数表
(1)第9行第4个数是_____．
(2)数表中的奇数67是第_____行，第_____个数．
解析：第1问为已知“位置”求“具体数”。
每一横行数的个数是一个等差数列，数表中第1行就有1个数，第2行就有2个数，…，第n行就有n个数，求第9行第4个，则前面有完整的8行，共有：1+2+3+⋯+8=36个数，所以第9行第4个数是整个数表中的第36+4=40个数；
三角形数表的第40个数也是这个等差数列的第40项。
第40项为：1+(40-1)×2=79．
第2问为已知“具体数”求“位置”。
67是等差数列的第(67-1)÷2+1=34项，第34项也是三角形数表的第34个数。
数表第n行有n个数，所以前n行有1+2+3+⋯+n=n(n+1)÷2个数．前7行一共有7×(7+1)÷2=28个数．34−28=6，所以67是第8行第6个数．
小结：
从上面的分析中我们知道，不管是已知“位置”求“具体数”还是已知“具体数”求“位置”，都要先求出这个数在数列中的项数，求解项数是中间的必经之路，也是将数表问题化归为数列问题的关键。
三角形数表还可以换成这样的排列方式。
例题2
如图，把从1开始的自然数按某种方式排列起来．
它的第一行是1，2，4，7，11，…那么：
(1)第一行的第100个数是多少？
(2)从左上角开始的对角线上的第11个是多少？
(3)自然数207位于数表中的第几行第几列？
(4)第10行第7列数是多少？
分析：(1)观察第一行数列，从左至右排列依次为：
1，2，4，7，11，16，…，
它们可以写成下面的形式：
规律已经呼之欲出了！
第一行的第100个数是：1+1+2+3+…+98+99=1+(1+99)×99÷2=4951.
(2)观察从左上角开始的对角线上的数从左上到右下依次为：
1，5，13，25，…，
它们可以写成下面的形式：
按照规律可知，从左上角开始的对角线上的第100个数是：
1+4+8+12+…+4×(100-1)
=1+4×(1+2+3+…+99)
=19801
(3)我们再继续观察数表，按照斜线的位置关系，第1斜行有一个数：1；第2斜行有两个数：2，3；第三斜行有三个数：4，5，6，…；第n斜行有n个数。这样我们就可以重新用斜行的方式来描述任意一个数的位置。比如说：8是第4斜行顺数第2个数，14是第5斜行第4个数。于是我们就将这个数表转化成例题1的形式进行计算。
“具体数”207正好是等差数列的第207项。
由于：1+2+3+…+19=190＜207；
1+2+3+…+20=210＞207.
所以207位于第20斜行，顺数第207-190=17个数。
到这里，我们已经用斜行的方式描述了207的位置，那如何用第几行和第几列去描述呢？我们需要找到这两种描述方式之间的转换关系。
207是第20斜行，顺数（从上往下数）的第17个数→207位于第17行；
207是第20斜行，倒数（从下往上数）的第4个数→207位于第4列。
实际上，我们可以发现，同一斜行上的所有数，它们的行数和列数之和都是相同的，都比斜行数多1.比如说，和207同一斜行的206位于第16行第5列、205位于第15行第6列、…
即：
行数+列数=斜行数+1
这样，对于此类数表，我们就可以将第几行第几列的描述方式转换成斜行的描述方式再进行计算，化归为我们熟悉的形式。
(4)根据上面的结论，第10行第7列的数一定在第10+7-1=16斜行，倒数第7个数。因为第16斜行有16个数，所以顺数第16-7+1=10个数。即：第16斜行，顺数第10个数。
这个数是等差数列的第1+2+3+…+15+10=130项。
第130项就是130.
小结：
当数表的排列形式比较复杂时，我们可以化归为熟悉的形式，对于例题2形式的数表，化归的过程如下。