《測圓海鏡》圓城圖之髙弦及平弦﹝5﹞等式說

《測圓海鏡》圓城圖之髙弦及平弦﹝5﹞等式說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及髙弦、平弦、皇極弦相關之等式。

關鍵詞：髙弦、平弦、皇極弦、角差、虛黃

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立：
c_i² = a_i² + b_i²。

《測圓海鏡》之〈諸弦〉篇涉及諸勾股形之斜邊，本文重點在於証明諸弦之等式，而諸弦之位置可參閱以下兩圖。筆者已有文談及此類等式名為〈《測圓海鏡》圓城圖之諸弦篇﹝1﹞說〉、〈《測圓海鏡》圓城圖之極弦及諸弦篇﹝2﹞說〉、〈《測圓海鏡》圓城圖之邊弦及相關弦﹝3﹞說〉及〈《測圓海鏡》圓城圖之黃廣弦及髙弦﹝4﹞說〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。

以下為與諸弦有關之等式：

髙弦內減明股得半徑。平弦內減

勾，亦同上。皇極勾上加明弦為皇極弦。　皇極股上加

弦亦同上。

皇極弦得極勾即底弦。得極股即邊弦。內去極勾即明弦。去極股即

弦。　減於通弦即極和。得虛弦亦同上。內去虛弦即明弦

弦共。去虛黃即明和

和共也。去城徑即傍差。內加極差即大差弦。去極差即小差弦。加角差即兩個髙股。減角差即二平勾。

以下為各條目之証明：

髙弦內減明股得半徑。

髙弦在勾股形天日旦 6 或日山朱 7。

已知髙弦﹝即天日或日山﹞：c₆ =

( a₁ +b₁ – c₁) 。

明股﹝在勾股形日月南 14﹞= b₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

圓直徑 = b₁ – c₁ + a₁。

髙弦內減明股= c₆ – b₁₄ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁) [c₁ – (c₁ – a₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁) × a₁

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

上式即圓半徑，所以髙弦內減明股 = 圓半徑。

平弦內減

勾，亦同上。

已知平弦﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞= c₉ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

東川勾﹝又稱

勾，在勾股形山川東 15﹞= a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

平弦內減

勾 = c₉ – a₁₅

=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[ c₁ – (c₁ – b₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁) × b₁

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

所以平弦內減

勾 = 圓半徑。

皇極勾上加明弦為皇極弦。

已知皇極勾﹝川心在勾股形日川心 12﹞：a₁₂ =

=

(a₁ + b₁ – c₁)。

日月為明弦﹝簡稱明弦在勾股形日月南 14﹞：
c₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

皇極弦﹝日川在勾股形日川心 12﹞：c₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

皇極勾+明弦 = a₁₂ + c₁₄

=

(a₁ + b₁ – c₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[1 +

(c₁ – a₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + c₁ – a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁) × c₁

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

比較皇極弦式，可知皇極勾 + 明弦 = 皇極弦。

皇極股上加

弦亦同上。

已知皇極股﹝日心在勾股形日川心 12﹞：b₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁)。

山川

弦﹝簡稱

弦，在勾股形山川東 15﹞：
c₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

皇極股 +

弦

=

(a₁ + b₁ – c₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[1 +

(c₁ – b₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ + c₁ – b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁) × c₁

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

上式即皇極弦，所以皇極股上加

弦 = 皇極弦。

皇極弦得極勾即底弦。

“得”有相加之意。“得極勾”即與皇極勾相加。此即皇極勾弦共。

皇極勾弦共 = c₁₂ + a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

+ 1]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + a₁)

=

[b₁ – (c₁ – a₁)](c₁ + a₁)

=

[b₁c₁ + a₁b₁ – c₁²+ a₁²]

=

[b₁c₁ + a₁b₁ – b₁²]

=

(a₁ – b₁ + c₁)。

已知日地底弦﹝簡稱底弦在勾股形日地北 3﹞= c₃=

(a₁ – b₁ + c₁)。

所以皇極勾弦共= 底弦。

得極股即邊弦。

“皇極弦得極股”即皇極股弦共。

皇極股弦共= c₁₂ + b₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

+ 1]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁)

=

[a₁ –(c₁ – b₁)](c₁ + b₁)

=

[a₁c₁ + a₁b₁ – (c₁² – b₁²)]

=

[a₁c₁ + a₁b₁ – a₁²]

=

(c₁ + b₁ – a₁)。

已知天川邊弦﹝簡稱邊弦在勾股形天川西 2﹞= c₂ =

(c₁ + b₁ – a₁) 。

所以皇極股弦共 = 邊弦。

內去極勾即明弦。

指皇極弦去極勾即明弦。即皇極弦 – 皇極勾 = 明弦。

前條曰“皇極勾上加明弦為皇極弦”﹝已証明，見前﹞即：

皇極勾+ 明弦 = 皇極弦。移項得：

皇極弦 – 皇極勾 = 明弦。

去極股即

弦。

指皇極弦去極股即

弦，即 皇極弦 – 皇極股 =

弦。

前條曰“皇極股上加

弦”得皇極弦﹝已証明，見前﹞即：

皇極股 +

弦 = 皇極弦。移項得：

皇極弦 – 皇極股 =

弦。

減於通弦即極和。

指皇極弦減於通弦即得極和。

皇極弦﹝日川在勾股形日川心 12﹞：c₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁)。

通弦﹝在勾股形天地乾 1﹞= c₁ 。

皇極弦減於通弦 = c₁ – c₁₂= c₁ –

(a₁ + b₁ – c₁)

= c₁[1 –

(a₁ + b₁ – c₁)]

=

(2a₁b₁ – c₁b₁ – c₁a₁ + c₁²)

=

(2a₁b₁ – c₁b₁ – c₁a₁ + a₁²+ b₁²)

=

[(b₁ + a₁)² – c₁(b₁ + a₁)]

=

(b₁ + a₁)(b₁ + a₁– c₁)。

“極和”即皇極勾股和。

皇極勾股和= b₁₂ + a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

+

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ + a₁)。

所以皇極弦減於通弦即得極和。

得虛弦亦同上。

指皇極弦加太虛弦。已知皇極弦﹝日川﹞：c₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

太虛弦：c₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

皇極弦 + 太虛弦 = c₁₂ + c₁₃ =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁)。

比較答案兩式，可知相等，所以皇極弦加太虛弦得極和。

內去虛弦即明弦

弦共。

太虛弦﹝在勾股形月山泛 13﹞：c₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

皇極弦內去虛弦，即：

=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁ – b₁ + c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

已知明弦﹝在勾股形日月南 14﹞：c₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

又已知

弦﹝在勾股形山川東 15﹞：c₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

明弦 +

弦

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

所以皇極弦內去虛弦= 明弦

弦共。

去虛黃即明和

和共也。

指皇極弦去虛黃。去，減也。

“虛黃”即太虛弦三事較 = 弦和較 = b₁₃ + a₁₃ – c₁₃。

–       c₁₃ + b₁₃ + a₁₃

= –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(– c₁ + b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²(– c₁ + b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²(a₁ + b₁ – c₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁) 。

注意 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)²。

皇極弦去虛黃，即：

(a₁ + b₁ – c₁) –

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[c₁² – 2(a₁b₁ – c₁b₁ – c₁a₁ + c₁²)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)( – 2a₁b₁+ 2c₁b₁ + 2c₁a₁ – c₁²)

=

(a₁ + b₁ – c₁)( – 2a₁b₁+ 2c₁b₁ + 2c₁a₁ – a₁² – b₁²)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[2c(b₁ + a₁) – (b₁ + a₁)²]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ + a₁)(2c – b₁ – a₁)。

“明和”即明弦勾股和 = b₁₄ + a₁₄。

b₁₄ + a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

+

]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

“

和”即

弦上勾股和 = b₁₅ +a₁₅ 。

b₁₅ + a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(

+

)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) 。

明和

和共，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁)(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁ + c₁ – b₁)

=

(a₁ + b₁)(a₁ + b₁ – c₁)(2c – b₁ – a₁)。

所以皇極弦去虛黃=明和 +

和。

去城徑即傍差。

“城徑”即內容圓之直徑 a₁ + b₁ – c₁。

皇極弦去城徑 =

(a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(

– 1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁² + b₁² –2a₁b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)²。

今先了解“傍差”之定義，依《測圓海鏡》所云：明

二差較名“傍差”。

明差 = b₁₄ – a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[

–

]。

差 = b₁₅ – a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [

–

]。

二差較 = 明差 –

差

=

(c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[

–

] –

(c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [

–

]

=

( a₁ +b₁ – c₁)[

–

][(c₁ – a₁) – (c₁ – b₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)。

以上之值即為“傍差”。

比較兩式可知相同，所以皇極弦去城徑 =“傍差”。

內加極差即大差弦。

“極差”即皇極勾股較 = b₁₂ – a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

–

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

皇極弦 + 皇極差=c₁₂ + b₁₂ – a₁₂ = 皇極弦較和。

皇極弦較和=c₁₂ + (b₁₂ – a₁₂) = c₁₂ +b₁₂ – a₁₂。

c₁₂ +b₁₂ – a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

+

–

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁ – a₁)

=

[b₁ –(c₁ – a₁)](b₁ + c₁ – a₁)

=

[b₁² – (c₁ – a₁)²]

=

[b₁² – c₁² –a₁² +2c₁a₁]

=

[ – 2a₁² +2c₁a₁]

=

(c₁ – a₁) 。

已知天月大差弦﹝簡稱大差弦在勾股形天月坤 10﹞：c₁₀ =

(c₁ – a₁) 。

所以皇極弦較和 = 大差弦。

去極差即小差弦。

皇極弦 – 皇極差 = c₁₂ – (b₁₂– a₁₂) = 皇極弦較較。

皇極弦較較 = c₁₂ –(b₁₂ – a₁₂) = c₁₂ – b₁₂+ a₁₂。

c₁₂ – b₁₂ + a₁₂

=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

–

+

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=

[a₁ –(c₁ – b₁)](a₁ + c₁ – b₁)

=

[a₁² – (c₁ – b₁)²]

=

[a₁² – c₁² –b₁² +2c₁b₁]

=

[ – 2b₁² +2c₁b₁]

=

(c₁ – b₁) 。

已知山地小差弦﹝簡稱小差弦在勾股形山地艮 11﹞= c₁₁ =

(c₁ – b₁) 。

比較兩式，可知皇極弦較較 = 小差弦。

加角差即兩個髙股。

所謂“角差”，即髙股平勾差，依《測圓海鏡》所云：此差名“角差”。

髙股髙勾在勾股形天日旦 6 或日山朱7。平勾平股在勾股形月川青 8 或川地夕 9。

髙股：b₆ =

=

(a₁ + b₁ – c₁)，髙勾：a₆ =

(a₁ + b₁ – c₁)。

平勾：a₈ =

=

(a₁ + b₁ – c₁)，平股：b₈ =

(a₁ + b₁ – c₁)。

髙股平勾差 = b₆ – a₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

–

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)。

以上是為“角差”或“逺差”。

皇極弦 + 角差

=

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁² + b₁² – a₁²)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁² + b₁²+ b₁² – a₁²)

=

(a₁ + b₁ – c₁) × 2b₁²

=

(a₁ + b₁ – c₁)。

已知髙股：b₆ =

=

(a₁ + b₁ – c₁)，

兩個髙股= 2 ×

(a₁ + b₁ – c₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)。

所以皇極弦+ 角差 = 兩個髙股。

減角差即二平勾。

皇極弦 – 角差

=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁² – b₁² + a₁²)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁² + b₁² – b₁²+ a₁²)

=

(a₁ + b₁ – c₁) × 2a₁²

=

(a₁ + b₁ – c₁)。

已知平勾 =

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

二平勾= 2 ×

(a₁ + b₁ – c₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)。

所以皇極弦– 角差 = 二平勾。

以下為《測圓海鏡細草》原文：