初中奥数精讲——第23讲 最大公约数与最小公倍数

本讲适用于初一、初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。

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一、知识点解析

1. 公约数与最大公约数

整数a和b公有的约数，叫做a和b的公约数。公约数中最大的一个叫做最大公约数，记作d=(a,b).

类似地，若a1，a2，…，an是不全为零的整数，则它们的最大公约数记作

d=(a1, a2, …,an)。特别地，如果(a1, a2, …,an)=1，则称a1，a2，…，an是互质的数，简称互质或互素。注意互质的数和质数、两两互质的数这三个概念的区别。互质的数不一定是质数，也不一定是两两互质的数，但n个质数一定是互质的数，且是两两互质的数。

2. 公倍数和最小公倍数

整数a和b公有的倍数，叫做a和b的公倍数。其中最小的公倍数记作

[a,b]=m.

类似地，若a1，a2，…，an均是正整数，则它们的最小公倍数记作[a1，a2，…，an]=m.

注意符号(a,b)和[a,b]是用式子表示的一个数。

3. 最大公约数和最小公倍数的性质

（1）若a，b是正整数，(a,b)和[a,b]分别表示它们的最大公约数和最小公倍数，则有(a,b) [a,b]=ab.

（2）若a，b是正整数，且(a,b)=d, [a,b]=m，则(ka,kb)=kd，[ka,kb]=km.

（3）若a，b是自然数，且a-b>0，那么(a,b)=(a±b,b).

4. 求最大公约数和最小公倍数的方法

（1）将每个数分解成质因数的乘积，这些数中相同因数的最低次幂的积就是这些数的最大公约数。

（2）若有两个整数a，b (a≥b)，用b去除a，若不能整除，得余数r1，再用r1去除b，如仍不能整除，得余数r2，再用r2去除r1.。。。直到余数等于零为止，最后一个不为零的余数就是所求的a，b的最大公约数。这种方法叫辗转相除法，又叫欧几里得算法。

（3）将每个数分解成质因数的乘积，这些数中各质因数的最高次幂的乘积就是这些数的最小公倍数。

这部分主要考察学生的对最大公约数和最小公倍数的了解及掌握，这部分属于数论部分的综合知识，这部分需要对代数、因式分解有足够的知识了解，题型变化多，要夯实基础，才能保证在最大公约数和最小公倍数的学习上赶超别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1

求48、60和72的最大公约数和最小公倍数。

例2

求5767和4453的最大公约数和最小公倍数。

例3 （“希望杯”初一数学竞赛试题）

23个不同的正整数的和是4845，问这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少？

例4

某自然数与24的最大公约数为4，与24的最小公倍数为168，求此数。

例5

已知两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求这两个数。

例6

设r是最小的10个不同质数之积而ai=1+ir（i=1,2，…，10）。证明：a1, a2,…,a10两两互质。

例7

设n是满足下列条件的最小正整数，它是75的倍数且恰有75个正整数因子（包括1和本身），求n/75.

例8 （北京市初一竞赛题）

张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张。如果已知x、y、z的最小公倍数为60，x和y的最大公约数为4，y和z的最大公约数为3。那么张华发出的新年贺卡是多少张？