经典力学告诉你,爱情多么残酷!

作者:刘翼豪(中科院物理所)

经典力学是物理学的基础组成部分。它们描述了万物是如何运动的,并且研究了物体运动的原因。我们下面尝试使用经典力学对爱情进行描述。

牛顿运动定律

牛顿运动三定律是动力学的基本规律。我们假设爱情是一种作用力,把人作为研究对象,则推广得到爱情三定律如下:

  • 爱情第一定律:任何人都将保持其单身或恋爱状态,除非作用于他的爱情力迫使他改变这种状态。

  • 爱情第二定律:情感状态的变化与所作用的爱情力成正比。

  • 爱情第三定律:两个人之间的爱情作用力是相互的,大小相等,方向相反。

下面我们对这三定律进行更加详细和定量的分析:

第一定律对应牛顿运动定律中的“惯性定律”,即力是改变物体运动状态的原因。乍一看,将这一定律推广到爱情之中,十分自然和准确。这说明:想要脱单,要么有人喜欢你,要么你想办法去追到别人。但如果你是单身狗,而且没有人喜欢你,并且你还不主动,那么你就别白日做梦某天你会突然脱单了!天天宅在家里和宿舍是不会改变你的单身状态的!

牛顿第二定律表述为“物体加速度的大小跟作用力成正比,跟物体的质量成反比,且与物体质量的倒数成正比;加速度的方向跟作用力的方向相同。”用公式表达为:

考虑到m 的运动不变性,上式进而可写为:

其中,m 是物体的惯性质量,a 是加速度。

为了将爱情统一进该框架,我们假设爱情是一种作用力,则有如下公式成立:

其中,Flove 是爱情作用力;mc 是惯性魅力,表示一个人的魅力值大小,其中,魅力值与外貌、学识、能力、财富等有关。在长时间跨度上,一个人的 mc 是会变化的;但在短时间内,可认为mc 是一个定值;v 表示恋爱进展,v 越大代表恋爱的感觉越明显,进展越快;a 在这里是一个重要的量,称为恋爱加速度,表示一个人陷入恋爱关系的快慢。a 越大,说明沉迷于该恋爱关系的速度越快。a 衡量了一个人对另一个人陷入感情漩涡的深浅(迷恋对方的程度)。

牛顿第三定律说明了这样的事实,力是相互的,A对B施加了一个力,那么B对A也会产生一个大小相同但方向相反的反作用力,并且作用力和反作用力是同一性质的力。值得注意的是,虽然作用力与反作用力大小相同,但是作用在不同的物体上,而且产生的作用效果也不一定相同。

正如上面说的,虽然作用力与反作用力大小相同,但力的作用效果却可以不一样。例如,对于相互吸引的爱情来说,爱情作用力的作用效果就是让对方喜欢上你,也即让对方的增大。根据上面的公式,不难看出,在相同的爱情作用力 Flove 下,一个人的惯性魅力mc 越大,a 就越小。这就好比很多人心中的爱豆,这些明星的mc 值很大,对于相同的Flove,明星的a 值很小很小,但是粉丝的a 值却很大很大。于是,粉丝就会不可自拔地“爱上”这些明星,陷入恋爱的漩涡,产生这是自己的对象的错觉,天天和别人说这是自己的老公/老婆,并且为之争风吃醋。然而,明星们却丝毫不会为之所动,甚至连你是谁都不知道。

相互作用力

迄今为止,我们发现自然界中存在四种基本的相互作用力:万有引力相互作用、电磁相互作用、弱相互作用、强相互作用。爱因斯坦在提出相对论之后,就一直在研究“大统一理论”,希望能将四种基本作用力统一到一个框架之下。其中,电磁作用和弱相互作用已被统一为电弱作用。

强作用和弱作用是短程力,作用范围仅仅在原子核尺度内;电磁作用和引力作用则是长程力,大小随距离的二次方反比衰减。

生活中常见的力除了重力属于引力作用外,其他都属于电磁作用,例如摩擦力、弹力等。

自然界中任何物体之间都存在万有引力。万有引力作用的大小为:

其中,G=6.673 x 10-11N·m²/kg²,称为引力常量。M 和m 为两物体的质量,r 为它们之间的距离。

真空中两个静止点电荷之间的相互作用力可以用库仑定律描述:

其中,k 是静电力常量,Q1 和Q2 分别为两个电荷所带电量(带符号)。

库仑定律和万有引力定律中相互作用的两个物体,它们不需要发生接触就对彼此产生了作用力,因此也被称为超距作用。不过,随着物理研究的深入,人们现在发现了场物质的存在。场物质之间通过接触实现相互作用,场物质与物体之间也通过接触实现相互作用,所以场是传递物质间相互作用的媒质。

▲ 电场以及电场线,图片来自 Brilliant

库仑定律和万有引力定律在形式上十分相近。不过,库伦定律稍有特殊。研究发现,如果Q1 是静电荷,Q2 是运动电荷,那么静电荷对运动电荷的作用力F2 在上式依然成立,但运动电荷对静电荷的作用力F1 不再满足上式,需要修正,并且随着运动速度的提升,修正量越大。于是有下式:

这是不是违背了牛顿第三定律了呢?事实上,在电荷周围存在着某种“看不见”的物质,这种物质分布在空间中且对电荷有作用力,我们把这种看不见的物质称为电磁场。运动电荷与静止电荷在电磁场中受力有差异。我们可以认为 F1 和F2 在这里只是电磁场下的一对作用力与反作用力相对应的一对分力。所以在这种情况下,F1 和F2 的大小有所不同。

▲ 地球磁场示意图。

异地感情衰减定律

我们可以很自然地将万有引力定律推广到爱情中:

其中,G 为恋爱常量,是一个常数;r 为两个人的距离;Mc、mc 为惯性魅力;ρ 为契合系数,与两个人默契程度以及各自的惯性魅力分布有关。

由此,我们得到了牛顿运动定律中Flove 的一种确定形式——爱情引力。

同万有引力一样,爱情引力与两个人的距离平方成反比。随着距离变大,两个人之间相互吸引的引力也随之衰减。这一点其实也很直观,我们很多时候都是对身边熟悉的人产生好感,远隔千里的人我们就很难吸引彼此。

同样,为了定量刻画爱情发展的影响,我们引入以下概念:

  • Ek_love:恋爱动能,表示恋爱系统中的恋爱发展的能量,值越大说明恋爱过程越如火如荼,恋情发展越快,感情越好。恋爱动能的表达式如下

  • Ep_Love:恋爱势能,表示恋爱系统中的潜在发展的能量,可以转化为恋爱动能或其他形式的能量。取无限远处的势能为0,则恋爱势能的表达式如下:

距离越远,势能就越大。当一对情侣分开一段时间之后,再次相聚时,势能转化为了动能,这就使得动能增大,如干柴遇上烈火,感情迅速升温。这就是为什么大家都说“小别胜新婚”。

下面我们来分析异地恋对感情的影响:

我们来计算情侣分开变为异地恋后损失的恋爱动能的大小。假设一对情侣原来的距离为s0,现在成为了异地恋,相隔的距离为s,则这个过程中恋爱引力做的功为:

距离变远,恋爱引力做负功,于是恋爱势能增加|W|。能量守恒定律是万物遵循的基本定律之一。根据能量守恒,在这个过程中,有

可以看出,异地恋会导致爱情动能的减少。

从图像上可以看到,s 越大,爱情动能减少越多,就会导致恋爱进入停滞状态,放缓两个人关系的进展,感情逐渐消磨。最关键的是,恋爱势能如果不及时转化为恋爱动能,就会转化为其他能量,长时间的耗散之下,虽然下一次转化为动能时会令感情升温,但是能转化的总动能却也随之减少了,因为异地的时候消耗了太多能量。

长此以往,两个人之间的恋爱动能就会越来越少,感情逐渐消散。这就是著名的异地感情衰减定律:距离是破坏感情的一大因素,随着距离的增加,感情也会随之衰减。

爱情胡克定律

生活中常见的力有重力、弹力、摩擦力、浮力等等。下面我们选择弹力和摩擦力进行分析。

弹性物体会因为形变产生回复力。假设弹性体无形变时的长度为L,称为自由长度。通过拉伸或者压缩后,物体发生了△x 的形变量,则物体产生的弹力可用胡克定律描述:

其中,k>0,称为劲度系数,与材料本身的性质有关。

我们对爱情建模如下:假设每个人是空间中的一个小球,小球系在一根弹性系数为 k 的弹簧上,如下图所示:

▲ 一张虽然抽象但是很有灵魂的示意图

此时弹簧处于自由状态,没有拉伸。

假设空间中另一个人出现了。假设两个小球的初始距离为L,小球的初速度均为0,两根弹簧初始时均无形变,弹性系数均为k。墙固定不动,空间为理想空间,没有能量耗散。此时,两个小球就会开始运动。小球的加速度为:

其中,Flove 是爱情引力。可以看出,小球将做变加速运动。事实上,这两个小球会一直振动下去。为了简化,我们假设Flove 不变(实际上Flove 是会改变的,因为引力与距离有关),那么模型就退化成为了一个弹簧振子模型,小球做简谐运动

周期为:

可以看到,惯性魅力m 越小,振动周期也越小,即运动的频率越快。结合 牛顿运动定律中的内容,这说明:在一段恋爱关系中,惯性魅力m 大的一方处于主动一方。惯性魅力m 小的一方恋爱的感觉会更强烈,越容易出现小鹿乱撞的感觉。这就解释了为什么你在自己的男神/女神面前心会扑通乱跳,来回欢腾,可惜的是对方内心毫无波动甚至有些想笑。

上面我们将模型做了简化,但事实上,Flove 在这里是会改变的。此时,两个小球仍然会做振动,不过不再是简谐运动。这种情况下,求解此问题会变得更加复杂,这里我们使用 Mathematica 软件给出几组数值解。

▲ 用于模拟计算的参数分别为L=1,m1=m2=1,k1=k2=1,G=1

当距离太近时,两小球会相撞,说明近亲不能结婚在物理上也是有理论依据的!

▲ 另一组用于模拟计算的参数, L=1,m1=m2=1,k1=k2=1,G=0.01

当引力较小时,近似于简谐运动。

▲ G=0.01,k1=1,k2=5,m1=m2=1,L=1

当两个人魅力值相当时,劲度系数小的被吸引的距离会更远,但劲度系数大的运动周期会更短。

▲ G=0.1,k1=k2=1,m1=1,m2=0.5,L=1

当引力较大时,可以看出此时已经不是简谐运动。

爱情摩擦力

两个物体接触面具有相对滑动趋势或已有相对滑动时,接触面上会产生阻碍相对运动趋势或阻碍相对滑动的力,这就是摩擦力。前者称为静摩擦力,后者称为滑动摩擦力。

固态物理间的静摩擦力大小是可变的,取决于受到的其他力的大小。但静摩擦力有上限。实验表明,最大静摩擦力与两物体接触面间的法向弹力(例如正压力与支持力)N 成正比,即

其中,μs 是静摩擦因数。

固态物体间的滑动摩擦力是一个定值,大小f 与N 成正比,有

其中,μk 为滑动摩擦因数。一般来说,μs 大于μk 。

▲ 动摩擦力与静摩擦力关系示意图。图片来自 Doug Davis

这告诉我们:爱情中的两个人无法避免地会发生摩擦,如果你对对方施加的压力越大,那么你们之间的摩擦力也就越大。摩擦力越大,恋爱动能耗散也就越大。这说明了吵架与摩擦,会让彼此的感情消磨衰减。

总结一下:在经典力学下,爱情是一种相互作用力,其形式与万有引力类似,由此我们得到了爱情运动三定律、异地感情衰减定律、爱情胡克定律等,解释了为什么单身狗会一直单身、为什么大家在男神女神面前都愿意做癞皮狗、异地恋为什么分手快等现象。最终,我们发现,这些物理规律揭示了爱情残酷的真相。理论上,单身狗基本上是没救了,但情侣们也不要高兴得太早,因为你们迟早也会回到最稳定的基态——单身态!

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