从一道习题开聊三角形面积公式
闲来无事作习题，看到这样一道题：
不由地想起一段往事，记得当时也是遇到这样一道题，学生有好几种作法，有的选择点到直线距离求高，有的选择距离公式求三边长，再利用海伦秦九韶公式的，有的选择余弦定理求出一角的余弦值，进而求出正弦值，最后算出面积的。因为涉及到计算量大小，有的孩子算对了，有的计算失误而导致结果错误。
记得当时我选择的作法是：
记得当初我给出答案，学生们近乎疯狂，他们惊讶的原因是对三角形面积公式的不熟悉，所以我们今天来谈一谈三角形的面积公式。
三角形是最简单、最基本的多边形，由于在所有多边形中，唯有它具有稳定性，所以我们的生活和数学中有着太多的三角形模型。所以有很多数学爱好者对三角形进行研究，今天我们把古人对三角形面积的研究分享如下：（我是知识的搬运工）
公式1：
这个公式我们并不陌生，小学时就接触过，譬如说这道题，就有很多学生选择这一方法求解：
利用两点之间的距离求出一个底边长，再利用点到直线距离求出高。
这个公式也不陌生，是课本上给出的一个公式。也有部分学生选择这个公式解决问题：先求出三边长，在利用余弦定理求出一角的余弦值，进而求出这个角的正弦值，最后利用公式求解。
当然我们利用公式2 ，以及正弦定理可以得到以下：
公式3：
公式4：
公式5：
公式6：
公式7：
公式8：
公式9：
公式10：
公式11：
这实际上是著名的秦九韶公式，也叫做三斜求积公式。
秦九韶（字道古，公元1202——1261年），南宋数学家，与李冶、杨辉、朱世杰齐名，同为我国数学黄金时代宋元时期的四大数学家。
秦九韶在其数学巨著《数书九章》卷五中，所述的第二题是：“问沙田一段，有三斜（三角形三边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步（每300步1里）。欲知为田几何？”“答曰：田积三百一十五顷（每100亩为1顷）。”
“术曰：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂吗，余半之。自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一从为隅，开平方得积。”
实际上这里的三斜可以是任意的边，也就是我们秦九韶的三斜求积公式。
公式12：
这实际上是秦九韶公式的向量形式。
公式13：
这个就是我们所熟悉的海伦公式。公元1世纪，希腊数学家海伦在其所著《度量论》一书中给出了这一公式。这个公式简洁、对称，极具美感，深深揭示数学之美、数学之妙。
当然说法称这个是海伦秦九韶公式，但是我们知道，秦九韶公式是我们上面提到的公式11，也叫做三斜求积式，这个公式是基于中国人善用的“勾股”思想，因而公式也具有此形式，我们可以稍作推演就会发现海伦公式和秦九韶公式是等价的，所谓英雄所见略同，海伦秦九韶公式的提起也就不算做无缘之木了。
印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出了用四边长来表达圆内接四边形面积的公式：
这个公式无论从形式上还是内容上似乎都是海伦公式的延拓与推广，当然，这个公式仅仅适用于圆内接四边形。
对于一般的四边形，我们仍有公式：
布列施内德在1842年给出了除四边形四条边长再加上两条对角线长的四边形面积公式：
也可以看作海伦公式的一种推广。
公式14：
这个公式展开，和海伦公式展开是一致的，在这里就不再证明。
公式15：
当初，小编就是用这个公式让学生们“疯狂”的。
公式16：
三阶行列式的计算，在前两天的法向量文章里已经说明，在这里不再重复。
三角形的公式蕴含着丰富的数学思想和方法，只要我们勤于总结，善于思考，就能养成良好的学习习惯，培养学习数学的兴趣，提高数学解题的能力。
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