第25讲 典型例题与练习参考解答：定积分的定义及其应用
本文对应推文内容为：
第25讲：定积分的定义及其应用
【注】相关推文可以直接参见公众号底部菜单“高数线代”中的“高等数学概率其他"选项，在打开的高等数学面板中的各章节推文列表中可以看到所有相关历史推文，或者直接点标题下的”话题：例题练习参考解答“链接.
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：证明狄利克雷函数
在任何闭区间上不可积.
以及每个小区间内任意取点 ，计算
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：证明狄利克雷函数
在任何闭区间上不可积.
【参考解答】：在区间 中任意插入若干个分点
把区间 分成 个小区间
(1) 在每个小区间上都取有理点 ，则
积分和为
于是.
(2) 在每个小区间上都取无理点 ，则
积分和为
于是.
由于在子区间 中按两种不同方式选取了有理点和无理点时，对应的积分和极限不同，所以根据定积分的定义知，函数在上不可积.
练习2：设 在 上有界， . 试对 的任一分割
以及每个小区间内任意取点 ，计算
【参考解答】：由于 有界，则存在 ，使得
于是可得
其中 . 于是可得
练习3：利用定义计算定积分
【参考解答】：由于被积函数 在 上连续，故在 上可积. 于是取分点为
并且取各子区间的右端点为
于是可得积分和为
所以由定积分的存在性可知
练习4：用定积分表示如下极限：
【参考解答】：(1) 直接由定积分定积分，可得
(2) 直接由定积分定积分，可得
(3) 由，又
故由夹逼准则得
练习5：用定积分表示如下极限：
【参考解答】：(1) 根据定积分的积分和描述，改写极限式，得
或者考虑区间为，则得
(2) 当 时，，故
(3) 原极限，其中
(4) 将极限表达式改写成求和符号描述，得
其中 正好为子区间 的中点值，所以由定积分和式极限定义，得
相关推荐
● 高等数学、线性代数、概率统计等课程完整推送内容参见公众号底部菜单 高数线代 下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！
● 历届考研真题及详细参考解答浏览 考研帮助 菜单中 考研指南真题练习 选项