高中数学：求双曲线离心率的取值范围

求双曲线离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，下面举例说明。

一、利用双曲线性质

例1、设点P在双曲线

的左支上，双曲线两焦点为

，已知

是点P到左准线

的距离

和

的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。

解析：由题设

得：

。由双曲线第二定义

得：

，由焦半径公式得：

，则

，即

，解得

。

小结：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点

在双曲线

的左支上则

；若点

在双曲线

的右支上则

。

二、利用平面几何性质

例2、设点P在双曲线

的右支上，双曲线两焦点

，

，求双曲线离心率的取值范围。

解析：由双曲线第一定义得：

，与已知

联立解得：

，由三角形性质

得：

解得：

。

小结：求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。

三、利用数形结合

例3、（同例2）

解析：由例2可知：

，点P在双曲线右支上由图1可知：

，

，即

，两式相加得：

，解得：

。

四、利用均值不等式

例4、已知点

在双曲线

的右支上，双曲线两焦点为

，

最小值是

，求双曲线离心率的取值范围。

解析：

，由均值定理知：当且仅当

时取得最小值

，又

所以

，则

。

五、利用已知参数的范围

例5、已知梯形ABCD中，

，点E分有向线段

所成的比为

，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当

时，求双曲线离心率的取值范围。

解析：如图2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为

，设

其中

是梯形的高，由定比分点公式得

，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得

，

，两式整理得

，从而建立函数关系式

，由已知

得，

，解得

。

六、利用直线与双曲线的位置关系

例6、已知双曲线

与直线

：

交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。

解析：把双曲线方程和直线方程联立消去

得：

时，直线与双曲线有两个不同的交点则

，

，即

且

，所以

，即

且

。

七、利用点与双曲线的位置关系

例7、已知双曲线

上存在P、Q两点关于直线

对称，求双曲线离心率的取值范围。

解析：设

，弦PQ中点为M，由点差法求得

，当点M在双曲线内部时

，整理得：

无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：

，即

，则

，所以

。

八、利用非负数性质

例8、已知过双曲线

左焦点

的直线

交双曲线于P、Q两点，且

（

为原点），求双曲线离心率的取值范围。

解析：设

，过左焦点

的直线

方程：

，代入双曲线方程得：

，由韦达定理得：

，

，由OP⊥OQ得

，即：

，解得：

，因为

，所以

，则

，所以

。

求双曲线离心率的取值范围时要根据题情，因题制宜挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线离心率的取值范围。

▍ 来源：综合网络