每日一练335：基于定积分与函数基本性质证明定积分不等式

练习题

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习335：(1) 设函数在闭区间上可微，且. 证明不等式

(2) 设在上可导， ，且，其中为常数. 证明：

其中为与无关的常数.

先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！

【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

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练习参考解答

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习335：(1) 设函数在闭区间上可微，且. 证明不等式

(2) 设在上可导， ，且，其中为常数. 证明：

其中为与无关的常数.

【参考解答】：(1) 【思路一】 由不等式证明的一般思路，令

则，且

故单调增加，即，故原不等式成立.

【思路二】 由题设可知，所以，两端积分得

【思路三】 由题设可知，故

即函数在上单调增加. 因此，当 时，有

两端积分，得

又因为 ，即 ，所以

(2) 由题设不等式求导展开且由，整理得

两端在区间上积分，得

移项整理得

由对数函数性质，得

于是令，并由对数函数的单调性，得

故所证不等式成立.

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