2021韩国数学冬令营模拟测试 第二轮 第二天 -中文翻译

第二轮

第二天

考试时间：2021年2月7日

5.对正整数和, 求满足以下条件的由和组成的排列的个数:
恰好在中各出现了 次.
对任意,设中包含的 的个数为 , 则.
字符串在 中恰好出现了 次.
(例如,在中恰好出现了次.)

6.锐角中, .其垂心为, 直线交于, 直线交于,直线交于点.过作的垂线, 垂足为, 直线与外接圆再次相交于点.
求证: .

7.求所有的常数对 ,使得一定存在实系数多项式 和,满足:对 .

8.对函数以及互素的整数 ,定义如下:

其中已知满足以下条件:

(i)对所有不为倍数的正整数.
(ii) , 使得   且 .
求证: 若 ,则 ().

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。