北师大版七年级下册数学 第一章 整式的乘除《完全平方公式》
知 识 点 总 结
1
完全平方公式：
(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2
派生公式：
(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2
(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab
考点解析
完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解 (如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征
(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;
(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.
(三)这两个公式的结构特征是：
1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;
2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);
3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.
(四)两个公式的统一：因为
所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
练习&解析
完全平方公式的基本变形：
(一)变符号
例：运用完全平方公式计算：
(1)(-4x+3y)²
(2)(-a-b)²
分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子解答：
(1)16x²-24xy+9y²
(2)a²+2ab+b²
(二)变项数：
例：计算：(3a+2b+c)²
分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所以在运用公式时，(3a+2b+c)²可先变形为[(3a+2b)+c]²，直接套用公式计算。
解答：9a²+12ab+6ac+4b²+4bc+c²
(三)变结构：
例：运用公式计算：
(1)(x+y)(2x+2y)
(2)(a+b)(-a-b)
(3)(a-b)(b-a)
分析:本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即
(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)²
(2) (a+b)(-a-b)=-(a+b)²
(3) (a-b)(b-a)=-(a-b)
完全平方公式的巧妙用法
一、我们先来研究一下完全平方公式的几个关键变式：
(a+b)²=a²+2ab+b².
(a-b)²=a²-2ab +b².
(a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²).
(a+b)²- (a-b)²=4ab.
这四个公式中包含了：a+b，a-b，a²+b²，ab. 只要知道其中的任意两个式子，就可以求出另外两个式子.
二、完全平方公式还有个非负性：
(a+b)²≥0，
(a-b)² ≥0.
如果(x+b)²+(y-c)² =0，那么x=-b，y=c.
三、用配方法配出完全平方公式
如：a²+6a+10
=a²+2×3a+3²-3²+10
=( a²+2×3a+3²)-3²+10
= (a+3)² +1.
四、例题
例1 已知(a+b)²=7，(a-b)²=3，求a²+ab +b²的值.
【分析】结论中的a²+ab +b²，与完全平方公式还有一点区别，如果直接用公式，无法实现. 观察这个式子的特点发现，式子里蕴含了a²+b²，ab两个式子，我们分开求这两个式子，题目就变得简单了.
解：∵(a+b)²=7，(a-b)²=3，
(a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²)，
∴7+3=2(a²+b²)，
∴a²+b²=5.
∵(a+b)²- (a-b)²=4ab，
∴7-3=4ab，
∴ab=1.
∴a²+b²+ab=6.
例2 已知：m+n=3，mn=2，求m²+n²，(m-n)²的值.
【分析】m²+n²与m+n，mn之间的关系，可以用公式(m+n)²=m²+n²+2mn建立；(m-n)²可以用公式：(m-n)²= m²+n²-2mn求得，也可以用公式：(m+n)²- (m-n)²=4mn求得.
解：∵m+n=3，mn=2，
(m+n)²=m²+n²+2mn，
∴3²=m²+n²+2×2,
∴m²+n²=5.
∴(m-n)²= m²+n²-2mn
=5-2×2=1.
【分析】此时要通过条件，求出a+b和a-b，观察条件的特点，我们发现，可以使用公式(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab +b²分别求出a+b和a-b.
解：∵a<b<0，< span=>
∴ab>0.
∴(a+b)²= a²+b²+2ab=6ab+2ab=8ab，
(a-b)²=a² +b²-2ab=6ab-2ab=4ab.
例4 已知x²+y²-4x+8y+20=0，求x+y的值.
【分析】看到此题，第一反应往往是想通过对那一长串式子进行变形，变化出x+y. 但是，通过多次尝试，一般是不能实现的. 这个时候，我们还可以考虑分别求出x和y，然后再求x+y. 像这种一个式子里同时含有两个字母，而且每个字母都有平方的情况，我们考虑用完全平方公式对它进行变化. 常用的方法就是“配方法”，把完全平方公式配出来.
解：x²+y²-4x+8y+20
=x²-4x+2²-2²+y²+8y+4²-4²+20
= x²-4x+2²+y²+8y+4²
=(x-2)²+(y+4)²
∴条件可以变化为：
(x-2)²+(y+4)².
∴(x-2)²+(y+4)²=0.
∵(x-2)²≥ 0， (y+4)²≥0，而它们相加为0，
∴只能有(x-2)² =0， (y+4)²=0.
∴x=2，y=-4，
∴x+y=-2.
例5 求证：无论x为何实数，代数式x²-4x+5的值恒大于零.
【分析】观察这个式子，x²-4x+5里存在着完全平方公式，或者说，我们可以用“配方法”给这个式子配出完全平方公式.
证明：x²-4x+5
= x²-4x+2²-2²+5
= (x²-4x+2²)-2²+5
=(x-2)²+1.
∵(x-2)²≥0，
∴(x-2)²+1>0.
∴无论x为何实数，代数式x²-4x+5的值恒大于零.
例6 计算：503².
【分析】此题如果直接计算，计算量比较大，我们可以考虑使用完全平方公式.
解：503²=(500+3)²
=500²+2×500×3+3²
=250000+3000+9
=253009.
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