虹野：两句话让你学好微积分
虹野：两句话让你学好微积分”
虹野：两句话让你学好微积分
文/虹野
微积分或许是大学生们最头痛的课程了，其难不在于思想深奥、方法繁杂，而在于很多学生根本就不知道自己做的是对还是错。往往自己做的题目答案和参考答案一模一样，可是仍然被老师划上一个大大的红红的刺眼的“叉”。这使得参考答案的参考价值急剧下降，如果没有非常详细的参考答案，很多学生都无法独立完成微积分的作业。但是无论数学答案多么详细，都无法罗列所有的方法，当学生想另辟奇径一题多解的时候，总是无法像中学时期那么肯定。
由答案判断自己做的是否正确是学生们常用的办法，每当考试结束之后，学生们总是可以通过对照答案来判断自己得多少分。但是学了微积分之后，结果对，而答案错的现象比比皆是。
这里不得不说的是数学作为一门逻辑推理很强的学科，在计算过程中其逻辑性常常被忽略，似乎只有证明题中才会要求逻辑里。微积分难学之处就在于过程与结果之间的关系与中学时期大大不同。
中学时期的计算题大都是恒等变形，过程正确则结果正确，结果不正确基本上可以判断过程出现了错误。所以学生们则自觉不自觉的会认为“结果正确，过程正确”是一个真命题。这种现象不仅仅学习数学会出现，在其他学科研究中也经常会出现。比如在谈论到某某城市发展比较好的结果的时候，常常会认为这个发展过程是正确的、没有瑕疵的。“结果正确，过程也可能是错误的。”在微积分学习中，这样的例子比比皆是。比如下面两题结果完全一样，如果学生不了解等价无穷小代换的条件，则很容易出现第一个题目的错误。但是仅仅让学生对照答案的话，他们自己则很难判断自己做的是对还是错误，甚至他们认为自己找到了更简便的方法，从而无法发现自己在解题过程中出现的错误。
在学习的过程中，我们常常根据错误的结果来寻找自己理解出现偏差的地方，一旦结果正确则很少再去观察自己解题的过程是否存在错误，以至于无法及时发现理解错误的概念，以至于错误越积越多，到最后对微积分的学习丧失了信心。
上面的两个例子告诉我们一个道理：结果正确，过程也可能是错误的。而数学则是“正确的过程一定得到正确的结果”的逻辑模式，却无法避免在学习过程中存在各种巧合以至于“错误的过程得到正确的结果”的现象。因此，在微积分以及其他数学科目学习中只有保证过程的每一步都有定理、定义来保证其正确性，才能够确认自己的结果是正确的。
习惯于参考答案和咨询教师来判断自己的结果是对还是错的人，基本上还属于“权威论证”的习惯者。只有我们明白了“正确的过程一定得到正确的结果”和“错误的过程也可能得到正确的结果”的差异的时候，我们才会从“权威论证”中走出来，深入到“真伪”的判断中，才能真正学好微积分。微积分的学习事实上是一个认识“真伪”的过程，也是一个抛弃“权威”的过程。
虹野 中华教育改进社理事