彭西东——抛物线最好题源：阿基米德三角形

花了好长时间了，

断断续续的，

终于是结束了椭圆的教学。

双曲线，

是没什么好说的了，

毕竟和椭圆是那么的相似。

今天提笔，

想着手写一篇关于抛物线的。

我想不用猜也知道，

一定是那最重要，

也是很多同学期待以久的，

阿基米德三角形了！

什么是阿基米德三角形？

抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形。

如图，阿基米德三角形ΔPAB中：

点P为顶点，AB为底边。

为什么叫阿基米德三角形？

阿基米德最早利用逼近的思想证明了：

抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的2/3。

从此这个ΔPAB便归为阿基米德专属了。

如图，S_黄：S_ΔPAB=2:3

阿基米德三角形有哪些性质？

01

性质一：阿基米德三角形底边的中线与抛物线对称轴平行（或重合）。

1

02

性质二：阿基米德三角形底边上中线的中点在抛物线上，且过该中点的切线平行于底边。

1

03

1

04

1

05

性质五：若阿基米德三角形的底边过抛物线内定点，则顶点轨迹为一条直线.

极点与极线性质

1

06

性质六：若直线与抛物线没有公共点，以直线上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.

00

圆锥曲线极点极线

说明：性质05和性质06为圆锥曲线的极点极线性质。

1

07

性质七：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点轨迹为准线；反之，若阿基米德三角形的顶点在准线上，则底边过焦点.

说明：

若阿基米德三角形的底边过焦点，此时称ΔPAB为阿基米德焦点三角形。

1

08

性质八：阿基米德焦点三角形的底边所对角为直角，且阿基米德焦点三角形面积的最小值为

.

说明：

由性质四，易得阿基米德焦点三角形中:

PF⊥AB

|PM|=|PF|=|PN|

高考中的阿基米德三角形

显然，方法二从结论着手分析，不仅使过程更加简洁，而且大大简化了思维过程。

此为2019年全国三卷压轴题。无论是第一问还是第二问，通篇考查阿基米德三角形。

当然，在解决此类问题时，有些结论只能给我们提供一个思维方向，但结论不能完全代替解题过程，所以，对于阿基米德三角形的相关性质的证明，还是需要同学们熟练掌握。这样在考试时才会更加得心应手，从容应对。

END

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