三角形（三十三）

接下来，我们将用一些篇幅来讲平行线分线段成比例定理以及相似三角形的应用。

首先要看的是关于平行线分线段成比例定理的逆定理。

定理：若OA/OB=OC/OD，求证AB∥CD。

想一想我们是如何判定两条直线平行的？没错，通过同位角、内错角和同旁内角的关系，还有没有其他的办法呢？

没有。

所以我们打算从角入手。由于OA/OB=OC/OD，且∠O公用，所以△OAB相似于△OCD，∠OAB=∠C，所以AB∥CD。

对于图2中的情况，我们也可以类似得到。

这个逆定理是一种新的判别直线平行的办法。当然，我们其实有一种更加棒的观点来看这个事情。接下来这段，如果你的孩子能够完全理解的话，那可以值得小期待一下了。

在小学部分，我们为了解决面积比例的问题而引入了梅涅劳斯定理。只不过当时只给出了定理的应用，而没有给出定理的证明。现在我们已经完全具备了这个能力，因此我们首先来证明一下。

证明的思路怎么来？

由于结论是比例的形式，那么很自然想到要用平行线分线段成比例定理或者相似三角形的办法。但是图中又没有平行线也没有相似三角形，下一个问题就是该怎么加辅助线。

这三个比例相乘等于1是不自然的，那么什么样的比例乘积等于1是自然的呢？a/b×b/c×c/a=1，这个就很自然。所以我们想，能不能找到三条线段来代替上面的a，b，c呢？

于是我们考虑作平行线，因为三角形的相似看起来太难构造了，而这个平行线作完以后，要能把这些比例给联系起来。于是过B作BG⊥FD，过A作AH⊥FD，过C作CK垂直FD，我们马上得到AF/FB=AH/BG，BD/DC=BG/CK，CE/EA=CK/AH，把三个式子相乘，命题得证。

图二中的情况我们可以用类似的办法证明，留作练习。

接下来我们来看一些有意思的东西。

如果我们把直线FD向上翘起，会发生什么事情？

FD和BD的交点D会向右移对不对？如果我们不断把FD向上翘起，那么D会持续右移，当我们把FD翘到一个极限状态的时候，FD和BD就再也交不到了——此时FD和BD平行了。

那么梅涅劳斯定理会变成什么样呢？AF/FB×BD/DC×CE/EA=1是否还成立呢？

连D点都没了还怎么成立？

理论上是的。不过我们可以把D点看作是无穷远点，也就是说，平行线在无穷远处相交。

但是这句话仍然很空洞，无穷远，那是多远？

远到BD=DC那么远。这个结论在有限的情况下是不可能成立的，因为BD=BC+CD，所以BD>CD，但是当D在无穷远的时候，BC就可以被忽略了。

此时由于BD=DC，我们得到AF/FB×CE/EA=1，也就是说：AF/FB=EA/CE。所以我们用梅涅劳斯定理推出了平行线分线段成比例定理，是不是很有意思？

可惜的是，我们并不能这么干。因为证明梅涅劳斯定理的前提是平行线分线段成比例定理，最后又要证明平行线分线段成比例定理，这就陷入了循环论证的套路，因此不能用这个看起来超炫的办法来证明，除非你能够不用平行线分线段成比例定理来证明梅涅劳斯定理。

好拗口的绕口令，好难的数学啊~

顺便说一句，梅涅劳斯定理最主要的作用还是在于证明三点共线，但是这个是纯竞赛内容，就不多做展开。至于比例计算的应用可以参见小学部分，有较为详细的举例说明。

顺便正式强推小号：贼叉说，聊的都是吃喝玩乐以及八卦。相信我，鸡娃路上大号我让你吃的苦，小号都让你补回来！