二十世纪的新兴数学学科——泛函分析

泛函分析是大学基础数学系高年级会接触到的数学学科，不过就其本身的历史而言，确实不算长，属于二十世纪的新兴学科，但它的思想和方法却很快渗透到了其他数学学科中，极大地促进了数学甚至物理的发展。

泛函分析(Functional Analysis)按字面理解就是“函数分析”，也即研究函数的函数，就是把一类函数组成一个空间，而把其中一个具体的函数看作一个点，这就使得分析学可以研究的范围大大扩展。实际上，在十九世纪末期，从变分分析和积分方程等领域产生了大量需要分析一类函数的“泛函”的问题，这就是泛函分析的起源和发展的来源。

历史上第一个真正考虑泛函问题的是意大利著名数学家伏尔泰拉(Volterra,1860~1940)，他在研究变分法的过程中提出了一种全新的函数，它的自变量是定义在区间上的全体函数，每个函数构成函数空间的一个点，并且可以在函数空间中定义极限等概念。泛函分析的数学思想大概就伏尔泰拉这里开始的。

但真正具有数学意义的第一项工作来自于法国数学家弗雷歇(Frechet，1878~1973)，他在1906年的博士论文中以数学的方式抽象地描述了函数空间，并且严格定义了函数空间中的相关拓扑概念，如极限等。

与此同时，希尔伯特在研究积分方程时也产生了函数空间的想法，他把一个函数在正交函数基下进行了傅里叶展开。而酷爱“正交分解”的施密特(Schmidt，1876~1959)进一步抽象出希尔伯特的数学思想，提出了内积空间，也就是“希尔伯特空间”的概念。不久后，里斯(Riesz，1880~1956)则进一步导出了p次可积函数空间，并且提出了重要的“范数”概念。当然，真正使里斯出名的则是非常著名的“里斯表示定理”。

二战前的数学可谓百花齐放，这一时期在泛函分析领域内贡献最大的是波兰学派，它的领袖则是被称为“泛函分析之父”的巴拿赫(Banach，1892~1945)。1922年，巴拿赫利用三组公理建立起了完备的赋范线性空间，而完备的赋范线性空间也就是我们俗称的“巴拿赫空间”，它包含了希尔伯特空间等常见的函数空间，而且拥有非常良好的数学性质。泛函分析中最基础而重要的“哈恩—巴拿赫”定理差不多也在这个时候被证明，后来它衍生出了许多版本，对推动泛函分析的发展起到了关键性的作用。

1929年，巴拿赫又考虑了巴拿赫空间的对偶空间，并且与施坦豪斯(Steinhaus,1887~1972)共同证明了著名的一致有界定理，也就是俗称的“共鸣定理”。1932年，巴拿赫总结学派的研究成果，出版了《线性算子理论》一书，它标志着泛函分析作为一门新兴数学学科的正式形成和成熟。

除去巴拿赫之外，这一时期泛函分析最重要的数学家还有冯·诺依曼（John von Neumann，1903~1957）。算子理论作为泛函分析核心的传统是从里斯开始的，由于早期泛函分析研究的无穷维函数空间上的各种线性算子，泛函分析一度被称为“无穷维线性代数”。而冯·诺依曼之所以研究泛函分析，是因为算子理论和当时新兴的火热物理学科量子力学产生了千丝万缕的联系。

1927年，冯·诺依曼在巴拿赫和维纳(Wiener,1894~1964，控制论之父)工作的基础上，提出了希尔伯特空间的公理化理论，引入了强拓扑和弱拓扑的概念，并建立了埃尔米特算子和酉算子之间的深刻联系，随后将这些理论还推广到了无界算子的情形。冯·诺依曼的工作不仅使得泛函分析本身焕然一新，而且为量子力学也提供了强有力的数学工具。在此之前，泛函分析被诟病为为了抽象而抽象，而它在物理中的应用改变了人们的偏见。

二战前后泛函分析的研究形成了法国学派和苏联学派两大学派，前者的代表人物有施瓦茨和格罗滕迪克等人，他们的工作主要集中在广义函数论和拓扑线性空间上，而后者的代表人物则为被称为“苏联数学三巨头”之一的盖尔范德，他们的工作则主要集中在算子代数上。关于他们的工作我们就不做过多介绍了，否则显得过于专业而乏味了。

泛函分析发展到如今，内容和方法已经十分丰富，应用范围也很广泛，包括偏微分方程，概率论，计算数学，量子力学等等数学内外的许多方向，成为了重要的数学分析工具。泛函分析这门基础数学中最“年轻”的学科虽然并不属于像代数几何那样最主流的数学，但它的重要性已经不言而喻，我们有理由相信它将发挥更为出色的作用。