第17讲 典型例题与练习参考解答：函数的多项式逼近与泰勒公式
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第17讲：函数的多项式逼近与泰勒公式
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：证明不等式：
证明：在开区间内至少存在一点, 使.
练习3：设函数在上二次可导，且
证明：
练习4：设函数 在闭区间 上具有三阶连续导数，且
证明：在开区间内至少存在一点, 使.
练习5：设当时，有 , . 证明：对 ，有.
练习6：设在内二阶可导，且, 在 内有界. 证明：在 内有界.
练习7：证明自然常数为无理数.
练习8：设函数 在 处具有二阶导数且
证明：存在的去心邻域，当 时，有.
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：证明不等式：
【参考解答】：由的二阶带拉格朗日余项的泰勒公式，有
由于 ，故
练习2：设函数在闭区间上具有三阶连续导数，且
证明：在开区间内至少存在一点, 使.
【参考解答】：由函数在的二阶带拉格朗日余项的麦克劳林公式
其中位于之间. 分别代入 , ，得
其中, . 两式相减，得
由于连续，故在闭区间上存在最大值与最小值 ，故
故由介值定理知，在开区间内至少存在一点 , 使 .
练习3：设函数在上二次可导，且
证明：
【参考解答】：将函数在中点处展开为一阶泰勒公式
其中位于之间. 分别代入端点的值，得
其中.
其中.将上面两式相加，得
由于， ，故
练习4：设函数 在闭区间 上具有三阶连续导数，且
证明：在开区间内至少存在一点, 使.
【参考解答】：由函数在的二阶带拉格朗日余项的泰勒公式
其中在之间. 分别令, 代入，得
其中, . 两式相减，得
由于连续，故 也连续，于是由闭区间上连续函数的最值定理知，存在 ，使得
代入上面不等式，得
练习5：设当时，有 , . 证明：对 ，有.
【参考解答】：对，有一阶泰勒公式
其中位于之间. 代入, 得
其中, . 两式相减，得
解出并由绝对值不等式得
练习6：设在内二阶可导，且, 在 内有界. 证明：在 内有界.
【参考解答】：在任意处的一阶泰勒公式为
其中位于 之间. 令 ，则
其中. 于是
故在 内有界.
练习7：证明自然常数为无理数.
【参考解答】：由 的 阶带拉格朗日余项的泰勒公式
令，得
两边同时乘以 ，得
假设为有理数，则可以描述为 (其中为正整数). 于是当 时，则为整数；而时，可知不可能为整数，故等式不成立.
故假设为有理数不成立，即只能为无理数.
练习8：设函数 在 处具有二阶导数且
证明：存在的去心邻域，当 时，有.
【参考解答】： 在处带皮亚诺余项的二阶泰勒公式为
由知，
从而
于是由极限的保号性知，存在的去心邻域，当时，恒有
从而可知结论成立，即
第二届第2题：基于对数函数法和麦克劳林公式计算函数极限（1个视频片段）
第三届第1题：函数极限计算的三类重要方法及应用实例分析（3个视频片段）
第三届第三题：借助带拉格朗日余项的泰勒公式证明中值等式（1个视频片段）
第四届第三题：借助麦克劳林公式探索方程近似解（1个视频片段）
第六届第三题：用泰勒公式解题的一般思路与步骤及实例分析（2个视频片段）
第八届第1题：函数极限计算的一般思路与方法（3个视频片段）