《九章算術》粟米問題之反求法詳解﹝4﹞
《九章算術》粟米問題之反求法詳解﹝4﹞
`
上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世強 HoSai Keung
提要：《九章算術‧卷二》為〈粟米〉，談及粟與其他穀物作等值之轉換，本文則著重其“反求”法。此卷之問皆屬初等之比例數。
關鍵詞：都術、所有數、所求率、所有率
《九章算術》九卷，共九章，乃最早之古代數學著作之一，其作者無考。其書分二百四十六題二百零二術，乃漢代之重要數學著作。此書應經歷代多家之增補及修訂，而成為今之傳世本。著名之注者為晉‧劉徽及唐‧李淳風。
筆者所採用者乃清‧四庫全書本。清‧乾隆三十八年﹝公元1773年﹞編纂四庫全書，《九章算術》亦為其一。其提要曰：
《九章算術》九卷，蓋《周禮》保氏之遺法，不知何人所傳。《永樂大典》引《古今事通》曰：王孝通言周公制禮，有《九章》之名，其理幽而微，其形秘而約，張蒼刪補殘缺，校其條目，頗與古術不同云云。
舊本有注，題曰劉徽所作。考《晉書》稱魏‧景元四年，劉徽注《九章》，然注中所云“晉武庫銅斛”，則徽入晉之後，又有增損矣。
又有注釋，題曰李淳風所作。考《唐書》稱淳風等奉詔注《九章算術》，為《算經十書》之首。國子監置算學生三十人，習《九章》及《海島算經》，共限三歲，蓋即是時作也。
《九章算術‧卷二》為〈粟米〉，此章主要談及粟米與其他穀物作等值之轉換或交易。
其意指若以粟米換其他穀物，即以某穀易他穀，則可依本章所提出之率而為之。“御”，有統率治理之意；“交質變易”，有交易轉換之意。
今以粟米為 50 為標準，他穀之轉換率如下：
粟率五十，糲米三十，稗米二十七，糳米二十四，御米二十一，
小䵂十三半，大䵂五十四，糲飯七十五，稗飯五十四，糳飯四十八，
御飯四十二，菽、荅、麻、麥各四十五，稻六十，豉六十三，
飧九十，熟菽一百三半，櫱一百七十五。
“今有”術曰：以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一。
其意指粟率五十，則可得糲米三十，或粺米二十七，或糳米二十四，其餘類推。注意以“粟率五十”為準則，以上之轉換準則劉徽注文稱之為“都術”，而所涉及之數是為“今有”，即“今有”之率，亦即《九章算術》所云之轉換率。
宜注意《九章算術》中之所謂“所有數”、“所求率”及“所有率”。“所有率”即上文所云之粟穀轉換率之主體，“所有數”即已知之穀物數量，“所求率”即粟穀轉換率所轉換之穀物之率；例如以下第 (1) 題，以糲米轉換為粟，糲米率為 30，30 是為“所有率”，粟率為 50，50 是為“所求率”，已知之糲米量為“所有數”，其餘類推。
筆者有文名為〈《九章算術》之粟米法初等問題詳解〉、《九章算術》之粟米四穀法初等問題詳解﹝2﹞及《九章算術》粟米法之稻飧糵問題詳解 (3)，本文為其延續。以上三文皆以粟率及粟數為“所有率”及“所有數”，已知他穀物率為“所求率”，求他穀物之轉換數量，今則相反，以他穀物率及數為“所有率”及“所有數”，已知粟率為“所求率”，求粟之轉換數量
以下各題均屬初等比例數學，顯淺易明。
以下為《九章算術‧卷二》相關之問﹝以下之算法皆採用筆者所謂之“約簡率”或“整數率”，若無此二率，則用原法。注意一斗合十升﹞：
(1)
今有糲米十五斗五升五分升之二，欲為粟。問：得幾何？
答曰：為粟二十五斗九升。
術曰：以糲米求粟，五之，三而一。
解：
根據已知條件，粟率五十，則可得糲米三十﹝見前﹞。今已知糲米量，求所換得之粟，可列成以下之比例表：
|
糲米之變易 |
粟 |
糲米 |
|
率 |
所求率 |
所有率 |
|
原法 |
50 |
30 |
|
約簡率 |
5 |
3 |
|
粟量及糲米量 |
x |
a |
50：30 可約簡為5：3，是為約簡率，以此率作計算。若糲米量為 a 單位，而所得之粟為 x 單位，依比例算法即可知：
x =
，若 a = 155
=
﹝升﹞，
即 x =
×
=
= 259﹝升﹞。259 升 = 25 斗 9 升。
“五之，三而一。”指乘以 5 及除以 3。
李淳風等按曰：
淳風等按：上術以粟求米，故粟為所有數，三為所求率，五為所有率。今此以米求粟，故米為所有數，五為所求率，三為所有率。準“都術”求之，各合其數。以下所有反求多同，皆準此。
“上術”指以前之題目，以前之題目“以粟求米”，此題則“以米求粟”，是為“反求”，以下之問皆如此﹝皆以此題為準則﹞。
答：為粟 25 斗 9 升。
(2)
今有粺米二斗，欲為粟。問：得幾何？
答曰：為粟三斗七升二十七分升之一。
術曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。
解：
本題根據已知條件，粟率五十，則可得稗米二十七﹝見前﹞。今已知稗米量，求所換得之粟，可列成以下之比例表：
|
稗米之變易 |
粟 |
稗米 |
|
率 |
所求率 |
所有率 |
|
原法 |
50 |
27 |
|
約簡率 |
50 |
27 |
|
粟量及稗米量 |
x |
a |
50：27 不可約簡，故無約簡率。若稗米量為 a 單位，而所得之粟為 x 單位，依比例算法：
x =
，若 a = 20﹝升﹞，即 x =
× 20 =
= 37
﹝升﹞。
37
升 即 3斗7
升。
“五十之，二十七而一。”指乘以 50 及除以 27。
答：為粟3斗7
升。
(3)
今有糳米三斗少半升，欲為粟。問：得幾何？
答曰：為粟六斗三升三十六分升之七。
術曰：以糳米求粟，二十五之，十二而一。
解：
少半即
，根據已知條件，粟率五十，則可得糳米二十四﹝見前﹞。今已知糳米量，求所換得之粟，可列成以下之比例表：
|
糳米之變易 |
粟 |
糳米 |
|
率 |
所求率 |
所有率 |
|
原法 |
50 |
24 |
|
約簡率 |
25 |
12 |
|
粟量及糳米量 |
x |
a |
50：24 可以以 2 約簡為25：12，是為約簡率。若糳米量為 a 單位，而所得之粟為 x 單位，依比例算法：
x =
，若 a = 30
=
﹝升﹞，
即 x =
×
=
= 63
﹝升﹞。63
升 即 6斗3
升。
“二十五之，十二而一。”指乘以 25 及除以 12。
答：為粟6斗3
升。
(4)
今有御米十四斗，欲為粟。問：得幾何？
答曰：為粟三十三斗三升少半升。
術曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。
解：
根據已知條件，粟率五十，則可得御米二十一﹝見前﹞。今已知御米量，求所換得之粟，可列成以下之比例表：
|
御米之變易 |
粟 |
御米 |
|
率 |
所求率 |
所有率 |
|
原法 |
50 |
21 |
|
約簡率 |
50 |
21 |
|
粟量及御米量 |
x |
a |
本題無約簡率。14斗可化為 140 升，若御米量為 a 單位，而所得之粟為 x 單位，依比例算法：
x =
，若 a = 140﹝升﹞，即 x =
=
= 333
﹝升﹞。
333
升 即 33斗3
升。少半即
。
“五十之，二十一而一。”指乘以 50 及除以 21。
答：為粟33斗3
升。
(5)
今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四，欲為粟。問：得幾何？
答曰：為粟一十斗五升九分升之七。
術曰：以稻求粟，五之，六而一。
解：
稻，又稱稻穀、稻米，常簡稱為米。根據已知條件，粟率五十，則可得稻六十﹝見前文﹞。今已知稻米量，求所換得之粟，可列成以下之比例表：
|
稻之變易 |
粟 |
稻 |
|
率 |
所求率 |
所有率 |
|
原法 |
50 |
60 |
|
約簡率 |
5 |
6 |
|
粟量及稻量 |
x |
a |
50：60 可以以 10 約簡為5：6，是為約簡率，以此率作計算。一十二斗六升一十五分升之一十四可化為 126
升，若稻量為 a 單位，而所得之粟為 x 單位，依比例算法即可知：
x =
，若 a = 126
=
﹝升﹞，
即 x =
×
=
= 105
﹝升﹞。105
升 = 10 斗 5
升。
“五之，六而一。”指乘以 5 及除以 6。
答：為粟10 斗 5
升。
(6)
今有糲米一十九斗二升七分升之一，欲為粺米。問：得幾何？
答曰：為粺米一十七斗二升一十四分升之一十三。
術曰：以糲米求粺米，九之，十而一。
解：
本題根據已知條件，粟率五十，則可得稗米二十七或糲米三十﹝見前﹞。今已知糲米量，求所換得之稗米，可列成以下之比例表：
|
糲米之變易 |
稗米 |
糲米 |
|
率 |
所求率 |
所有率 |
|
原法 |
27 |
30 |
|
約簡率 |
9 |
10 |
|
稗米量及糲米量 |
x |
a |
27：30可以以 3 約簡為9：10，是為約簡率，以此率作計算。若糲米量為 a 單位，而所得之稗米為 x 單位，依比例算法：
x =
，若 a = 192
=
﹝升﹞，
即 x =
×
=
= 172
﹝升﹞。
172
升 即 17斗 2
升。
“九之，十而一。”指乘以 9 及除以 10。
李淳風等按曰：
淳風等按：粺米率二十七，合以此數乘糲米。術欲從省，先以等數三約 之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘而十除。
其意指 27：30可以以 3 約簡為 9：10，見上表。“從省”即以較簡之數字運算。
答：為稗米17斗2
升。
(7)
今有糲米六斗四升五分升之三，欲為糲飯。問：得幾何？
答曰：為糲飯一十六斗一升半。
術曰：以糲米求糲飯，五之，二而一。
解：
本題根據已知條件，粟率五十，則可得糲飯七十五或糲米三十﹝見前﹞。今已知糲米量，求所換得之稗米，可列成以下之比例表：
|
糲米之變易 |
糲飯 |
糲米 |
|
率 |
所求率 |
所有率 |
|
原法 |
75 |
30 |
|
約簡率 |
5 |
2 |
|
糲飯量及糲米量 |
x |
a |
75：30可以以 15 約簡為 5：2，是為約簡率，以此率作計算。若糲米量為 a 單位，而所得之糲飯為 x 單位，依比例算法：
x =
，若 a = 64
=
﹝升﹞，
即 x =
×
=
= 161
﹝升﹞。161
升 即 16斗1
升。
“五之，二而一。”指乘以 5 及除以 2。
李淳風等按曰：
淳風等按：糲飯之率七十有五，宜以本糲米乘此率數。術欲從省，先以等數十五約之，所求之率得五，所有之率得二，故五乘二除，義由於此。
其意指 75：30可以以 15 約簡為 5：2，見上表。
答：為糲飯16斗1
升。