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泰勒级数（Taylor series）展开 也叫 泰勒展开式 是一个令人敬畏的概念，不仅在数学领域，而且在优化理论、函数逼近和机器学习方面也是如此。当需要估计函数在不同点的值时，它在数值计算中得到了广泛的应用。

在文中，您将了解 泰勒级数，以及如何使用 泰勒级数 展开来近似函数在不同点周围的值。

本文分为三个部分：幂级数和Taylor级数、Taylor多项式、基于Taylor多项式的函数近似值。

幂级数

下面是关于中心x=a和常数系数c_0，c_1等的幂级数。

一个令人惊奇的事实是，无穷次可微函数可以产生一个叫做Taylor级数的幂级数。假设我们有一个函数f(X)，f(X)在给定的区间上有所有阶的导数，那么f(X)在x=a处产生的Taylor级数由：

上述表达式的第二行给出了KTH系数的值。

如果我们设置a=0，那么我们就有一个叫做f(X)的 Maclaurin级数 展开的展开式。

由f(X)=1/x生成的Taylor级数可以通过首先微分函数和找到KTH导数的一般表达式来得到。

现在可以找到关于不同点的Taylor级数。例如：

泰勒多项式

由f(X)在x=a处生成的k阶Taylor多项式是由以下方法给出的：

对于f(X)=1/x的例子，2阶Taylor多项式由以下方法给出：

我们可以用Taylor多项式在点x=a上逼近函数的值。多项式的阶次越高，多项式中的项越多，逼近函数的实际值越近。

在下图中，函数1/x围绕点x=1(左)和x=3(右)绘制。绿色线是实际函数f(X)=1/x，粉红线用2阶多项式表示近似。

实际函数(绿色)及其近似(粉红色)

让我们看函数g(X)=e^x。注意到g(X)的KTH阶导数也是g(X)，g(X)关于x=a的展开式是：

因此，在x=0附近，g(X)的级数展开由(通过设置a=0获得)给出：

函数e^x围绕点x=0生成的k阶多项式由以下方法给出：

下面的图表示不同阶的多项式，估计x=0附近的e^x 的值。我们可以看到，当我们从零移开时，我们需要更多的项来更准确地近似e^x。表示实际函数的绿线隐藏在7阶近似多项式的蓝线后面。

在机器学习中，一种常用的求函数最优点的方法是牛顿法。牛顿法用二阶多项式逼近函数的值。这种利用二阶导数的方法称为二阶优化算法。令人敬畏的泰勒级数（Taylor series）的通俗看法及机器学习应用

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