再读《几何原本》第一卷（一）
这一次阅读，把第一卷的48个命题平均分成三个部分。每个部分16个命题。
第一部分研究相等关系，包括三边相等的三角形，两个全等的三角形，相等的线段，有两边相等的三角形，分角为相等的两部分，直线相交成相等的邻角，等。
第二部分研究不等关系和平行关系， ≠ ，不等号是这样的，研究平行线时，也是这样的，用一条斜线交两线。
第三部分研究等面积变换。
先从第三部分开始讨论，然后第一部分，最后第二部分。
因为第三部分，相对容易理解。
等幂变换
这部分的目标：化任意多边形为等面积的正方形。
内容：从第三十三命题到第四十八命题。
因为这些命题，大部分是夹在平行线之间的平行四边形以及三角形，只要预先假定
两平行线之间，距离处处相等。
由于欧氏几何独特的性质，如图，从S点向直线TV引垂线ST，这垂线必然也垂直于直线SU。因此，可以定义平行线之间的距离。
这些距离，图中ST,UV,WZ,等，都相等。
有了这个假设，则大部分命题比较容易理解。其实，这个命题也可以作为公设，代替传说中的第五公设。这个命题与第五公设是等价的。
有了第五公设，就有了平行线的性质，这个假设也就不是假设，而是可以证明的定理。
但书中似乎没有出现“距离”这样的字样。一直用线段度量线段，就是考虑线段与线段的比值。这一点，同《九章算术》明显不同。《九章》中，（刘徽）在计算圆周率的时候，就使用了各种长度单位；在《海岛算经》中，各种长度单位的转化更是繁复。
用单位，实际上也是规定了一个固定的线段。其它来与之比例。用阿基米德原理公理，才可能完成度量。
用比例，就避免了单位的转化。相同单位的两个量一比，单位就消失了。更重要的原因是，继承了毕达哥拉斯学派的传统，一定要找到线段和线段之间的“最大公约数”，就是“可公度量”。让线段之间可以产生比。
那个时候，对比就是除法，就是分数还没有认识。这同无理数不能精确的用比例表示有关。
无理数的危机是如何解决的，等我读到那一章，再了解。
因为现在倒着看这一章书，所以先假定有“距离”这概念。
下面有几个命题，都如“等底等高的三角形面积相等”之类，这些命题中“夹在平行线间”就意味着“等高”。
命题三十三 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
如图，只要有SV平行于TU，而且SV=TU，那么这个四边形就是平行四边形。
一组对边平行且相等，就能保证另一组对边也如此。
证明用到三角形全等和平行线的性质。在下一个命题中有体现。
命题三十四 平行四边形对边相等，对角相等，对角线平分该四边形。
命题三十三平行四边形的判定定理，命题三十四是性质定理。利用平行线的性质和三角形全等，容易证明。
命题三十五 同底且在二平行线之间的平行四边形面积相等。
这种四边形可以看作下底不动，上底在平行线上移动，变化出的所有平行四边形面积都相等。一个特殊的位置，就是恰好为长方形的时候，面积值也一样，高与边重合。
命题三十六 等底且在二平行线之间的平行四边形面积相等。
平行四边形的高也可以不在形内。高也许真的比底要高。
你一定会奇怪，这么简单的事情为什么要说两遍？现代说“等底等高的平行四边形面积相等”不就解决了？
因为，那时用几何在运算，并非用代数运算。现代用代数运算，一个公式
S=ah可表示平行四边形的面积，另一个公式S=ah/2可以表示三角形的面积。
但那时，在欧几里得之前，并没有“平行四边形是”这东西，“平行四边形”这种形状本身就是欧几里得发明的。
所以，我们不能苛求什么。
命题三十七 同底且在二平行线之间的三角形面积相等。
命题三十八 等底且在二平行线之间的三角形面积相等。
同上面两个命题一样的道理。因为每个平行四边形都可以剖分成全等的两个三角形，所以，就成立。
用面积公式：
平行四边形面积 = (底 乘以 高)
三角形面积 = (底 乘以 高) 除以 二
从图形上看，等底的情形是更普遍的。两个三角形可以平移，重合一边，就成了同底的情形。平行线的存在，保证了，绝对会等高。
命题三十九 同底等面积，顶点位于底边同侧的三角形顶点连线平行于底边。
面积相等可以得出高相等，进而得到平行的结论。有了这个命题以后，就可以省略那些步骤了。
省略一些会比较好，因为有的时候，证明过程中，你会忘记哪个命题是先有的，哪一个是后来才有的，容易有一些颠倒因果的做法。
并非所有的角度相等都是通过三角形全等来证明的。通过SAS直接得到一个角相等，在希尔伯特体系中，是公理。然后才有SAS全等。假如先用SAS证明了全等，然后说“因为全等，所以某某角相等”，就是颠倒了因果。
这种做法就好比做一个分解因式的题目，本该提取公因式以继续，却用乘法分配律展开了，不知道在做什么，倒回去了。
命题四十 等底等面积，顶点位于底边同侧的三角形顶点连线平行于底边。
这两个命题分别是命题三十七和命题三十八的逆命题。可以利用面积证明平行。也是平行判定的一种方法。
这种证明平行的方法，要求很严格：
第一，所有三角形的底边共一条直线;
第二，所有三角形在平面上直线的同侧;
第三，所以三角形面积相等;
第四，所有三角形底边一样长。
因为要求这么严格，很少有机会同时满足，所以，我记忆中没有使用过。
但看来很强大，不但可以证明平行，如果结合Playfair公理，简直可以证明3点共线、4点共线直到100点共线。
实际中也许不容易构造这样的三角形。下一次遇到证明共线的题目，一定要尝试一下构造满足上述四个条件的三角形。
命题四十一 夹在平行线间的平行四边形和三角形，如果同底，则平行四边形面积是三角形的两倍。
这是为本书中为证明勾股定理专门做的铺垫定理。
后面很少出现。
命题四十二 给定平行四边形一角，可作平行四边形面积等于已知三角形的面积。
这两个命题就是：保证面积不变，化三角形的平行四边形的理论依据。
既然等底等高的平行四边形面积是三角形的两倍，那么，如果要把三角形化作面积相等的平行四边形，只需要底边折半。
命题四十三 对角线两边的补形面积相等。
这里，定义了一种特殊的形状，叫“补形”，就是从平行四边形对角线上一点，引边的平行线，得到对角线两侧的平行四边形。就是图中有背景的两个平行四边形。通过全等的部分减去全等的部分证明：对角线AD分平行四边形为全等的两部分ABD和ACD，两部分中，没有着色的三角形也分别相等，因此，减去相等的部分以后，得到补形，仍然相等。
这个命题提供了一种方法，可把一个平行四边形改装成另一个，面积不变。
正是因为“补形”的存在，才需要画图的。不画图，实在是很难表达清楚。
命题四十四 给定平行四边形一角和一边，可作平行四边形面积等于已知三角形的面积。
这个命题合并了命题四十二和四十三的结果，可以作出指定一角和一边的平行四边形。如果指定这个角为直角，那么，就可以把三角形化为矩形。
先按照按照命题四十二的方法作给定角度的平行四边形，等于已知三角形面积。然后，向上延长两边，延长的长度是给定的（红色为延长的长度）。得到大平行四边形的一个顶点。再作出图中绿色的对角线，对角线与下底所在直线有交点，这个交点作为大平行四边形的第三个定点。
最后作蓝色平行线，确定大四边形的第四个顶点。
同时，作出了相等的补形。
命题四十五 给定平行四边形一角，可以做平行四边形面积等于已知多边形。
方法：先把多边形沿着一个顶点引出的对角线，割成一个一个的三角形，用上一个命题的方法，可以作出给定一边和一角的一个一个平行四边形。因为先固定一边和一角，这些平行四边形可以很好的拼接在一起，形成一个长长的平行四边形。如果最初指定一角是直角，那么作出的是矩形。
至此，任意的多边形都可以转化为等面积的平行四边形（或矩形）。
命题四十六 给定边长，可作正方形。
这个命题与上一个命题之间，留下一些空白。那就是：作一个正方形，面积等于已知的长方形。这个空白将在第二卷的命题十四得到填补。
是第一命题的后续。
第一命题做正三角形，这里做正方形，未来的章节还有正五边形，正六边形等。也就是说，能用尺规作图做出的正多边形，都会出现。
作正方形，仅仅只是为了延续“正多形序列”，展示几何的美感，没有别的意思。作为尺规作图能作出的正多边形的一种，给人的感觉是方方正正。
命题四十七 勾股定理
将已知两正方形合并为等面积的一个正方形。
这个就是压轴的勾股定理。证明的时候用到了平行线的性质，上面的各种面积相等，以及简单的三角形全等SAS。这个证明精妙绝伦。
如果把证明过程中用的图，着上颜色，会像孔雀开屏。
先延长中间的白色直角三角形斜边上的高，把下面的正方形分成黄色和蓝色两个部分。
然后，
黄色的部分用黄药师代替，
蓝色的部分用南帝代替，
原来直角三角形肩膀上的两个小正方形：
红色的用洪七公代替，
灰色的用欧阳锋代替。
比武的规则是：
黄药师与蓝帝联手，对抗
红七公与灰色的欧阳锋联手。
大宗师一般都不直接比武，于是排出各自的弟子。
鲁有脚的功夫正好是洪七公的五成。
梅超风的功力也正好是黄药师的五成。
梅超风和鲁有脚迫不及待的进行了第一场比武，正好平手。
（这两个三角形全等，用SAS证明。旋转90度，刚好可以重合。)
这就从侧面印证了，黄药师和洪七公的功力一样。
同时进行的还有，第二场比武，由欧阳克代表欧阳锋，由武三通代表南帝：
这两位的功力也恰好是各自师父的一半，这两位也恰好打平手。印证了，南帝的功力和老毒物一样。
两场比武都是平手，所以
黄药师 + 南帝 = 洪七公 + 老毒物
因此，在华山论剑中（在直角三角中），
黄药师和南帝方阵（斜边上的正方形面积）与
洪七公和老毒物葫芦阵（两直角边上的正方形面积之和）
战平（相等）。
真实比武的场面是这样的。
有人说像风车，有人说像孔雀开屏。
我从这里看到大宗师的手笔。
在直角三角形中，斜边上的正方形面积等于两直角边上正方形面积之和。
命题四十八 勾股定理逆定理
证明：略
用途：利用面积，可以证明垂直。
第三部分全部内容
整理如下
这部分的目标是：化任意多边形为等面积的正方形。逻辑是顺序推理的，只跳跃了“化长方形为正方形”的步骤。除了跳跃的一个步骤（跳跃的步骤在第二卷第十四命题得到补充），所有任务都已完成。
实际上，初一整整一个上学期的几何，内容相当于第一卷的四十八个命题。
一方面，学习几何语言，诸如“取直线 l 外一点P”之类；
一方面，学习证明的逻辑，书写的格式，三段论和反证法；
还有一方面，就是不断的练习，熟悉题目，以应对考试。
计划为这四十八个命题，各挑选一句古诗词，来装饰一下。几何的美太朴素，太单纯。至少两个命题共用一联。
自写的打油诗不美观，但好记忆。下回分解。