扭结、编织、自旋网络，你熟悉而不了解的量子空间 | 展卷
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撰文 | 吉姆·巴戈特
翻译 | 齐师傍
1987年8月， 李·斯 莫 林 和 特 德·雅 各 布 森 向《 核 物 理 学B》（Nuclear Physics B）期刊提交了一篇论文，介绍他们取得的突破。当时，雅各布森已经在马萨诸塞州波士顿附近的布兰代斯大学谋得了一份博士后职位，与斯坦利·德塞尔共事。虽然他们取得了成功，但当时还是没有人知道将量子理论与广义相对论结合起来到底有没有可能做到。不过至少他们要走的下一步已经颇为明了了。
尽管斯莫林和雅各布森推导出的精确解后来被证明没有物理意义，斯莫林仍然相信他们首次窥见了时空形状的量子态，而这一步原本是他认为的难点所在。下一个任务是解一系列方程，来证明这些量子态与坐标系的选择无关，即它们是广义协变的。他原本认为这会是比较容易的工作。
然而开始不久后，斯莫林一开始的乐观情绪很快便烟消云散。他回到耶鲁，与如今已获得助理教授职位的克兰合作，然而他发现，他们要么能找到代表这组方程的解的量子态，要么能找到代表那组方程的解的量子态，但是无法找到能够同时符合两组方程的解。他们开始确信，他们正尝试做的这件事情是不可能成功的。
卡洛·罗韦利之所以选择在大学时学物理，部分原因是为了逃避兵役。拿到博士学位后，要求他服兵役的指令终于噩兆般地来临，他拒绝了，做好了在监狱里待两年的准备，他认为那也比当一年兵要强。但他运气不错，只被拘留了几天。他回忆道：“那段时间，意大利政府正往黎巴嫩运送军队，这是‘二战’以后的头一回，大众并不支持政府这样做。他们不想让我这种人制造风波，于是决定放我走。”刚被释放，他就回到了锡拉丘兹，跟着阿什特卡开展进一步的研究，还开始计划去耶鲁拜访李·斯莫林。
1987年10月的一天，罗韦利出现在了斯莫林的办公室里。他们的讨论进行得十分艰难。斯莫林说：“我跟他解释，说我这儿现在没什么可做的，因为我们这项研究完全陷入了困境，停滞不前。”他对罗韦利说，他完全欢迎罗韦利待在这儿，但因为他们正在进行的工作看起来是不可能完成的，或许罗韦利还是应该考虑回意大利。
这个消息太让人心碎了。罗韦利的感情遭遇了打击，正处于“最深的绝望中”，而现在看来他的科学理想也要受挫了。罗韦利无法控制自己的情绪，眼泪夺眶而出。看到斯莫林因为自己突然哭泣而表现出困惑的神情，罗韦利赶紧道歉并解释了他的不幸遭遇。斯莫林表示非常同情，并坦陈自己最近也刚刚经历了一场类似的分手。
现场一片尴尬的沉默。
为了转换话题，让气氛再次轻松起来，斯莫林问罗韦利喜不喜欢帆船运动。罗韦利露出了微笑，他确实热爱帆船运动。他们当即离开了办公室，往耶鲁大学的船库走去。他们选了一条小船，在那一天接下来的时间里一直在康涅狄格州海岸线东边一个小海湾里度过。他们忘记了所有的科学问题，畅谈自己的生活、理想及感情问题。罗韦利在克兰住的公寓里租了一个房间。在接下来的一天里，斯莫林完全没见到他的人影。但到了第三天，罗韦利来到斯莫林办公室门前。
“我找到解决所有问题的方法了。”他说。
斯莫林、雅各布森和克兰全力发展的这一理论已经消除了格点结构，但他们得出的量子态仍然是自旋联络的函数。然而，自旋联络本身周围还带着引力场，而在广义相对论中，引力场就是时空本身。因此，哪怕这些量子态看起来已经与背景的时空格点无关了，它们也并没有真正地与背景时空相脱离。这就解释了为什么他们得到的解没能通过坐标系检验。
罗韦利意识到，在此基础上，利用他从艾沙姆那里学到的技巧，对解进行一次重新表述，就能只以力圈的形式来表示量子态了。同样的逻辑可以用在多个问题上，这即将成为一类由交叉的圈——“引力圈”组成的理论，这类圈不仅存在于空间中，它们的集合本身即为空间。
不到一天，他们就确定这是一个极好的想法。往这个想法里填充细节又花了几个月的时间：
他们决定动身去锡拉丘兹，向阿什特卡展示这一发现。在去机场的路上，开道奇牌达特车的斯莫林与后面一名开玛莎拉蒂的男子发生了点儿小摩擦，玛莎拉蒂车主嫌斯莫林开得太慢。美国汽车和意大利汽车开展了一场短暂的不平等较量，美国汽车毫不费力地胜出。斯莫林的道奇全身而退，而玛莎拉蒂近乎报废。
罗韦利发着高烧，但仍坚持报告了团队的结果。报告结束后，所有人陷入了长长的沉默，打破这一沉默的是阿什特卡，他说这是自己头一次见证有可能成为量子引力理论的方程组。
不久之后，他们就飞往伦敦，向艾沙姆展示了这一结果，然后参加了于1987年12月14至19日在印度果阿举行的关于引力和宇宙学的国际会议。罗韦利并没有收到这个大会的邀请，而且申请参加的截止时间也已经过了，但一种冲动让他决定碰碰运气，直接过去。他的大胆让他如愿以偿：他成功地订到了大会参与者住宿的酒店里最好的房间。
他们在会议上的报告非常成功。“量子广义相对论的圈空间表述”获得了更多人的关注，这一理论后来被称为“圈量子引力”（LQG）①。
① 罗韦利在1998年的一篇综述中提到了这个名字，但这个名字过了很多年才流行起来。其他的理论物理学家提出了不同的名字。亚历杭德罗·科里基回忆道，在1996年一场酒吧里的讨论中，物理学家大多还将这一理论称为“非微扰量子引力的圈表述”。（引自2017年11月21日作者与科里基的个人交流）
事实证明，从这一初始的突破诞生，到物理学家对空间的量子本质产生一种真实的理解，并定义圈量子引力的范畴，还需要8年的时间。这一旅程包含三个步骤。
从圈到结
要研究圈量子引力理论，我们该从何处开始呢？这是一个关于引力圈的理论，因此我们或许可以通过探索圈（空间量子态）的性质得到很多收获，这就是关于纽结（knot）的理论。只要你系过鞋带，打过绳结，或者打过领带，你应该就对“结”很熟悉了。如果你听说如今在数学上有一大类理论专门研究纽结，可能会有些奇怪，但数学上的纽结与我们日常生活中遇到的绳结不太一样。首先，数学上的纽结出现在形成连续圈的物质中，而不是日常生活中单条一维的线绳（比如领带）或把单条线绳的两端系起来（如鞋带）所组成。
一个闭合的、没有打结的圈被称为无纽结圈（unknot），显然，它不包含纽结。最简单的纽结之一是三叶结（trefoil），如图1和图2所示。这类物体是三维的，但为了把它们呈现“在纸上”并对它们进行一些操作，我们需要把它们投影到二维平面中，并展示出圈的哪些部分在其他部分之上，即压过了其他部分（而被压住的部分则通常被绘制成圈上缺失了一部分）。如果你花很长时间仔细把玩一个三叶结，你会发现它确实打结了——你不可能通过任何平滑的操作把结去掉。为了解开它，我们只能把绳子剪断，并把两端重新连接起来。
如果我们拥有了两个或者两个以上的圈，情况就会变得更复杂一些。两个圈可以形成链，即无法在剪断其中一个圈的情况下把它们分开。在看起来很邪恶的怀特黑德链环（以英国数学家J. H. C. 怀特黑德的名字命名）中，一个无纽结的圈被另一个无纽结的圈在扭曲的状态下穿过，这样的两个圈无法在不剪断圈的情况下分开。这一图案出现在雷神②的传奇战锤③上。三个圈可以组成一个博罗梅安链环，它们看起来像一套类似九连环的智力玩具，但又有所不同：尽管任意两个环都没有相互穿过，但这三个环是一个整体，无法分离。
② 雷神（Thor）是北欧神话中的雷霆和力量之神，其武器是一把战锤。——译者注
③ 以纽结的图案来装饰雷神之锤的传统延续至今。如果你是漫威电影宇宙系列电影的粉丝且善于观察，就会发现电影中的雷神之锤上装饰着一个简单的三叶结。
图1. 三叶结、怀特黑德链环、博罗梅安链环
图2. 雷神之锤
从雷神之锤的图案可以看出，纽结在人类历史上已经存在很长时间了。早期的纽结理论学家希望能构建一套数学语言，以描述一个含有大量扭曲结构的复杂的圈到底是否包含纽结，或者一系列圈的组合是不是连成了不可分离的链环④。他们还想将所有可能出现的纽结和链环分成不同的类别（目前已知的纽结与链环有60亿种），并在它们之间建立数学关系。
④ 所有曾经被电视、机顶盒、DVD播放器、音响系统背后的一团乱线搞得崩溃的人，一定都思考过这种问题。
纽结理论在物理学中的应用也有一段相对长的历史了，至少可以追溯到19世纪60年代。开尔文勋爵建立的原子涡流理论认为，原子是以太中的纽结和链环所形成的。在1869年发表的一篇论文中，开尔文描绘了一系列纽结和链环，其中就包括三叶结、相连的环以及博罗梅安链环。如今，纽结理论在自然科学中的应用十分广泛，包括拓扑量子场论，以及研究DNA（脱氧核糖核酸）、蛋白质等复杂生物分子物理学性质的领域。然而，它与圈量子引力的关系并没有那么大，其原因留待下文解释。
斯莫林和罗韦利使用纽结理论获得了一些进展，主要是给不同的可能量子态解分了类，但他们仍然不清楚这些态的物理意义是什么。他们遇到了两个问题。
在量子力学中，每个可观测量都与一个对应算符有关。算符是我们可以应用于波函数的一项数学操作，如将它乘一个量，或者对它求微分。在量子力学中，如果我们将能量的算符（也可以是其他算符，仅以能量为例）应用在波函数上，就会得到一系列离散的、量子化的波函数的能量值——能量就是一个可观测量。
广义相对论属于经典理论，并不像量子理论那么依赖算符⑤。它描述的是质能与时空之间的关系，而如果我们把所有存在的物质都移走，在原则上会发生什么呢？这是第一个问题。圈量子引力原本想要的描述的是时空本身是如何演生出来的，但要以量子场论的形式重新表述，在缺乏物质的情况下，算符和可观测量就根本无法定义了。我们不能给空间安上一个算符，因此也就没有对应的可观测量。
第二个问题与时间有关。狄拉克此前发现，在广义相对论的约束哈密顿表述中，时间“消失”了。这一结果被延续至惠勒−德威特方程和ADM表述中。森、阿什特卡、斯莫林、雅各布森、克兰和罗韦利为进一步重新表述该理论所做的一切工作，都没能让时间维度重新出现。
这些问题表明，尽管用纽结理论可以找到一些解并对其分类，但它并不能告诉我们该如何诠释这些解。罗韦利和斯莫林不得不承认：“如何在物理学上诠释我们找到的这些圈态，仍是一个悬而未决的问题。”
从纽结到编织
下一个重大进展出现在约1990年末、1991年初。在一间嘈杂的车库里等待汽修工人修好他的车时，斯莫林在笔记本上草草写下一系列方程。他发现了一种方法，可以构建并演算量子力学的算符来表示物理区域，以使得到的“谱”——该区域可以取的多种量子化的值——有限大，无须重正化。
这是他们几个月以来工作的高潮。在过去的几个月里，他们一直致力于发展来自QCD的新的数学手段，并试图使其适应背景无关的算符。在1991年6月于西班牙加泰罗尼亚举行的一场国际理论学会议上，斯莫林做了一系列报告，总结了这一工作。
在1988和1989年的两个夏天，斯莫林都会前往意大利，与罗韦利一起度过“工作假期”。虽然1990年罗韦利去了匹兹堡工作，但他们在接下来的7年里仍然每年夏天都去意大利。这么做既有实际的原因，也有个人原因。罗韦利的父亲一开始介绍斯莫林住在他们家隔壁的单人间公寓里，罗韦利又介绍斯莫林认识了一位来自维罗纳的女性朋友，斯莫林很快与这位姑娘订了婚。“这些经历既改变了我的生活，也改变了我的科研事业，”斯莫林说，“圈量子引力理论要感谢（维罗纳的）香草广场和但丁广场周边的那些咖啡馆，我们有很多工作都是在那里完成的。”
1991年夏天，斯莫林以访问科学家的身份去了离维罗纳只有一小时车程的特伦托大学。阿什特卡也加入了他们，三人一起尝试应用斯莫林新想出的数学技巧。三人取得了一些进展。他们发展出一种结构，以描述相连的引力圈如何结合在一起，形成一种不断延伸的“编织”（weave）。这再次暗示我们，我们以为空间是连续的，物体可以在其中平滑稳定地移动，但这只是宏观经典世界中的幻影，正如远看光滑连续的床单表面，近看其实由无数细密的亚麻或棉线交织而成。虽然床单远看是一个面，但线与线之间其实并不存在物质。圈量子引力理论提出，在普朗克尺度下，空间是不连续的，由一个一个的基本单位或量子（也就是圈）组成。这些空间的基本组成单元以编织的方式组合在一起，与其说像连续的线编织成的床单，不如说像是环环相套形成的锁子甲 。罗韦利搜集了他能找到的所有钥匙环，把它们串在一起，为这类“圈空间”制作了一个三维物理模型（如图3所示）。他后来开玩笑说，他把维罗纳所有的钥匙环都用上了。
现在的难题就是用斯莫林的面积算符来清晰地展示理论是如何预言圈编织成时空形状的了。
从编织到自旋网络
1992年夏天，阿什特卡与斯莫林在一项美意联合科研补助金的支持下，再次来到特伦托。1993年8月，斯莫林与罗韦利在维罗纳又取得了一项重大进展。他们发现了一种方法，可以同时利用与背景无关的面积和体积算符构建出有限的哈密顿量。
1993年，宾夕法尼亚州立大学给阿什特卡提供了埃伯利物理学教授的职位，以及建立一个新的引力物理学与几何学研究中心的机会。他与校方谈判，说服校方同意他把斯莫林从锡拉丘兹带来，并争取到了另一个教职，它后来给了阿根廷理论物理学家豪尔赫·普林。
1994年，斯莫林仍然保持了夏天去意大利的传统。这次，他利用了位于意大利的里雅斯特的国际高等研究学校（SISSA）的访问讲师职位，的里雅斯特距离维罗纳大约两个半小时的车程。上午，斯莫林和罗韦利各自独立计算，然后在草药广场上的一家咖啡馆碰面，比对各自的结果。他们正努力尝试理解体积算符，事实证明它比面积算符难处理得多。罗韦利描述道：“它很难，因此它很有意思，它简直棒极了。”
经过最后的冲刺，他们解决了这个问题，摆在他们面前的情形又改变了。
他们的计算表明，圈之间的串联远不如它们产生的网络重要，因此罗韦利的钥匙环模型已经过时了。不应该把重点放在理解圈之间是如何相交的、在哪里相交的，在新的描述中，交点本身才是更重要的，它们成了网络中的“节点”。将体积算符用在节点上，就得到了可观测量：在节点处特定数目的量子体积。
那节点之间相连的力线呢？这些力线现在就表示相邻节点的小体积之间相接的面，因此用面积来表示。将对应的面积算符用在力线上，得到了一系列面积，它们与普朗克长度的平方有关——这是个极其微小的面积，只有3×10−70平方米。由此，这样的网络就由两组数来描述：节点处的体积可观测量量子数，以及节点之间连线的面积可观测量量子数。事实证明，面积量子数（以j来表示）可以取整数和半整数的值，如0、1/2、1、3/2、2、5/2等。
斯莫林突然意识到，这种网络他曾经见过。那便是彭罗斯曾经构造的自旋网络。
1971年，彭罗斯向自己提出了一个看似简单而无害的问题：有没有可能把连续的时空换成一个仅由物体之间的相互作用构成的系统？
我自己的目标是尝试用离散的组合量的方式描述物理学，因为当时我相当坚定地认为，物理学定律和时空的结构从根本上应当是离散的，而非连续的。此外，另一个驱动我研究的动力来自马赫原理的一种形式，它认为空间的概念本身应该是被导出的，而非原本就存在的。
彭罗斯的伟大的想法是根据已经量子化的基本概念建立一种结构，让连续的概念作为一种极限情况（即近似）出现。但应该选择哪些概念呢？他毫不犹豫地开始研究自己眼中“最有量子力学特征的物理量”：自旋。
我在第4章提到过自旋。电子拥有一种内禀角动量，由一个叫作自旋量子数的量来表征，其大小固定，为1/2。这意味着电子在磁场中可以“指向”两个不同的方向，我们可以称其为“自旋向上”和“自旋向下”。然而，彭罗斯想知道这个问题的答案：“电子是怎么知道哪个方向是‘上’，哪个方向是‘下’的呢？”这很明显是我们先假设了一个背景时空，然后强加给电子的方向⑥。要去除背景时空，就意味着我们只处理总自旋角动量——由所有物体的自旋加起来而得。总自旋并不要求我们事先规定一个方向。
随后，彭罗斯设想了一个完全只由带着自旋角动量的物体构成的宇宙。这些物体并不一定是基本粒子，目前阶段我们仅把它们看作“物体”。自旋角动量是量子化的，因此物体只能携带一个固定自旋角动量基本单位的倍数，这个单位是1/2ℏ，即普朗克常数h 除以2π（约为1×10−34 焦耳秒）。换句话说，每个物体携带的角动量为 n×1/2ℏ，其中 n = 0，1，2，3等自然数。在彭罗斯的理论中，网络中的线就以这个整数n来标记。
彭罗斯得到的结果就是所谓的自旋网络（spin network），见图4。这一结构与物理学结合，为物体之间的结合方式建立了某种规则，从而保证总自旋角动量永远守恒。
彭罗斯证明，只要网络的总角动量足够大，就能以其自身构建出逆着其他可被测量的大型网络的相对定向的方向。想象有这么一个自旋网络，它拥有很大的总自旋角动量（例如为N），现在我们将一个单位的自旋角动量传递到另一个大的自旋网络（总自旋角动量为M）中。在这个过程中，有一定概率这一个单位的自旋角动量会加到第二个自旋网络中（得到M + 1），也有一定概率第二个自旋网络会被减去一个单位的自旋角动量（得到M − 1）。彭罗斯证明，这些概率之间的关系定义了两个网络之间的夹角。不仅如此，他还证明，所有这类夹角之间的关系，与三维欧几里得空间中的夹角关系完全一致。这表明，常规的空间和几何学从大的自旋网络中的一系列相互关系中演生了出来。
彭罗斯在开始构造这一理论时，完全没有预先在大脑中设定任何理论的形式结构，他只是基于空间应该是离散且相关的这一想法，想出了自旋网络的结构。实际上，彭罗斯的这种理论仅包含一个想法：自旋网络不足以构成一整个研究课题（彭罗斯本人花了更多精力在通往量子引力的另一条道路——扭量理论上面）。
斯莫林肯定早在哈佛读博的时候就听说过自旋网络了。“我真的搞不明白自己为什么花了这么长时间才意识到自旋网络可以被看作圈量子引力的基础。”他承认。但是，与自旋网络相关的计算令人望而生畏：它们极为复杂，又容易出错，只要一个简单的正负号错误就会给整个结果带来灾难性的影响。不过，斯莫林还是勇敢地接受了这一挑战，并在1994年访问牛津，直接向这系列计算的发明者彭罗斯本人请教。
这是一项卓越的成就。彭罗斯之所以发展出自旋网络，只是因为他感觉连续时空的观念不太对劲。把阿什特卡的广义相对论自旋联络表述量子化，就得到了引力的“圈”和“纽结”，然后得出一个由圈编织起来的空间。斯莫林和罗韦利如今已经找出了应用体积与面积算符的方法，并且证明圈量子引力理论中的空间是离散而相关的，在他们推进这一工作的过程中，彭罗斯早已建立的自旋网络理论就在背后静静地看着他们。应用体积算符，就会得到自旋网络节点处的离散“颗粒”，即量子化的空间。
应用面积算符，就会得到网络中的连线上（即离散颗粒相连的地方，如图5所示）的量子化的面积。这些颗粒极为微小，一个质子里装得下多达1065 个这样的体积量子。从一个颗粒移动到相邻颗粒形成的闭合回路就是圈量子引力理论中“圈”的起源，而圈上每条线所带有的值的总和就反映了引力场的强度，即空间弯曲的程度。
这趟旅程曾经充满困惑、沮丧，甚至绝望，而且远未结束，但此时斯莫林和罗韦利感受到了少有的真正的欢欣。他们发表了两篇关键的论文，一篇关于面积与体积的离散性，另一篇关于量子引力与自旋网络之间的联系。这两篇论文代表了他们最引以为傲的科学发现，也是他们在圈量子引力方面被引用次数最多的论文。
这可称得上是个硕果累累的夏天了。
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特 别 提 示