倍数特征分析
最近在讲排列组合，给学生出了这样一道题：
将1、2、3、4、5、6、7、8、9组成多少个没有重复的三位数，且是3的倍数。
在这道题中涉及到整数倍数的特征判定，心血来潮，给大家分享一下：
（1）、2的倍数。
如果一个数的个位上的数字是2的倍数（即偶数），那么这个数就是2的倍数。
例如：566874，因为4是2的倍数，所以566874是3的倍数。
57842381，因为1除以2余1，所以57842381除以2余1。
（2）、3的倍数。
如果一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。
以六位数为例，
显然若若是3的倍数，则是3的倍数。特别的是，若除以3余几，则除以3余几。
例如：5668743，因为5+6+6+8+7+4+3=39是3的倍数，所以5668743是3的倍数。
57842381，因为5+7+8+4+2+3+8+1=38除以3余2，所以57842381除以3余2。
实际上在计算中，遇见三的倍数可以直接省略，或者再次计算，譬如5+8+7+4=24是3的倍数，所以5668743是3的倍数。5+7+8+4+2++8+1=35，3+5=8除以3余2，所以57842381除以3余2。
或者选择弃三法，就是先把给定的数中是3的倍数的数字先划去，再把相加的和是3的倍数的数字划去，最后再加减判断。
例如：5668743，先划去6、6、3，再划去5和7，8和4，所有数字都划完，所以5668743是3的倍数。
57842381，先划去3，再划去5和7，8和4，8和1，剩下2，所以57842381除以3余2。
（3）、4的倍数。
如果一个数的后两位数是4的倍数，那么这个数就是4的倍数。
以六位数为例，
显然若若是4的倍数，则是4的倍数。特别的是，若除以4余几，则除以4余几。
例如：5668748，因为48是4的倍数，所以5668748是4的倍数。
57842381，因为81除以4余1，所以57842381除以4余1。
（4）、5的倍数。
如果一个数的个位上的数字是5的倍数（即0或5），那么这个数就是5的倍数。
例如：5668745，因为5是5的倍数，所以5668745是5的倍数。
57842381，因为1除以5余1，所以57842381除以5余1。
(5）、6的倍数。
因为6=3×2，且2，3互质以如果一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，且个位上的数字是2的倍数，那么这个数就是6的倍数。
例如：5668734，因为5+6+6+8+7+3+4=39是3的倍数，且末尾是4，所以5668734是6的倍数。
（6）、7的倍数。
法1：如果一个数的末尾三位数字所表示的数与末尾三位数前的数字组成的数之差，是7的倍数，则这个数是7的倍数。【常用于4位数以上（含）】
例如：442806，因为806-442=364是7的倍数，所以442806是7的倍数。
法2：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。【常用于4位数以下】
例如：442806，因为806-442=364，36-4×2=28是7的倍数，所以442806是7的倍数。
（7）、8的倍数。
如果一个数的后三位数是8的倍数，那么这个数就是8的倍数。
例如：5668744，因为744是8的倍数，所以5668744是8的倍数。
57842381，因为381除以8余5，所以57842381除以8余5。
（8）、9的倍数。
如果一个数各个数位上的数字之和是9的倍数，那么这个数就是9的倍数。
如：59668713，因为5+9+6+6+8+7+1+3=45是9的倍数，所以5668713是9的倍数。
57842381，因为5+7+8+4+2+3+8+1=38除以9余2，所以57842381除以9余2。
实际上在计算中，遇见九的倍数可以直接省略，或者再次计算，譬如5+6+6+8+7+1+3=36，3+6=9是9的倍数，所以59668713是9的倍数。5+7+8+4+2+3+8+1=38，3+8=11，1+1=2除以9余2，所以57842381除以3余2。
或者选择弃九法，就是先把给定的数中是9的倍数的数字先划去，再把相加的和是9的倍数的数字划去，最后再加减判断。
例如：59668713，先划去9，再划去6和3，8和1，5、6和7，所有数字都划完，所以59668713是9的倍数。
57842381，划去5和4，7和2，8和1，剩下3和8，和为11，所1+1=2除以9余2，所以57842381除以9余2。
（9）、10的倍数。
如果一个数的个位上的数字是0，那么这个数就是10的倍数。
（10）、11的倍数。
法1：如果一个数的末尾三位数字所表示的数与末尾三位数前的数字组成的数之差，是11的倍数，则这个数是11的倍数。【常用于4位数以上（含）】
例如：645029，因为645-029=616是11的倍数，所以645029是7的倍数。
法2：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。【常用于4位数以下】
例如：：645029，因为645-029=616，61-6=55是11的倍数，所以645029是11的倍数。
法3：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
例如：：645029，因为（6+5+2）-（4+0+9）=0是11的倍数，所以645029是11的倍数。
（11）、12的倍数。
因为12=3×4，且3、4互质，所以如果一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，且后两位数是4的倍数，那么这个数就是12的倍数。
例如：5468748，因为48是4的倍数，且划去6，5和4，8和7，4和8，所有数字都划完，所以5468748是12的倍数。
（12）、13的倍数。
法1：如果一个数的末尾三位数字所表示的数与末尾三位数前的数字组成的数之差，是13的倍数，则这个数是13的倍数。【常用于4位数以上（含）】
例如：337818，因为818-337=481是13的倍数，所以337818是13的倍数。
法2：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。【常用于4位数以下】
例如：337818，因为818-337=481，48+4×1=52是13的倍数，所以337818是13的倍数。
（13）、14的倍数。
因为14=2×7，且2、7互质，所以如果一个数的个数位上的数字是偶数，且是7的倍数【判断参考以上】，那么这个数就是14的倍数。
例如：442806，因为806-442=364，36-4×2=28是7的倍数，且末尾是6，所以442806是14的倍数。
（14）、15的倍数。
因为15=3×5，且3、5互质，如果一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，且末尾是5或0，那么这个数就是15的倍数。
例如：566874315，先划去6、6、3，再划去5和7，8和4，1和5，所有数字都划完，且末尾是5，所以56687415是3的倍数。
（15）、16的倍数。
如果一个数的后四位数是16的倍数，那么这个数就是16的倍数。
例如：5668832，因为832是16的倍数，所以5668832是16的倍数。
57842381，因为381除以16余13，所以57842381除以16余13。
（16）、17的倍数。
法1：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。【常用于4位数以上（含）】
例如：163846，因为846-3×163=357是17的倍数，所以163846是17的倍数。
法2：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。【常用于4位数以下】
例如：163846，因为846-3×163=357，35-7×5=0是17的倍数，所以163846是17的倍数。
（17）、18的倍数。
因为18=2×9，且2、9互质，如果一个数各个数位上的数字之和是9的倍数，且末尾是偶数，那么这个数就是18的倍数。
例如：892179576，先划去9，9，再划去8和1，2和7，5、6和7，所有数字都划完，且末尾是6，所以892179576是18的倍数。
（18）、19的倍数。
法1：若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。【常用于4位数以上（含）】
例如：163856，因为7×163-856=285是19的倍数，所以163856是19的倍数。
法2：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。【常用于4位数以下】
例如：163856，因为7×163-856=285，28+2×5=38是19的倍数，所以163856是19的倍数。
对于其他的数字，静下心，只要想明白上述方法的缘由，我们就会推出其他数字的倍数特征，聪明的你可以去试试！