矩阵的秩的直观解释

我们都知道，秩是矩阵中的重要概念。但是你对它有什么直观的认识吗？

本期视频中，我们用筛子作比喻，对秩做一个形象的讲解。

1 矩阵的作用

秩是矩阵中的重要概念，谈秩肯定是离不开矩阵的。因此，我们先来看看矩阵的作用。

矩阵完成的是向量空间的映射。

它负责将左边向量空间的点，映射到右边的向量空间

如果将左边的区域都用相同的规则进行映射,就可以得到右边的区域

此时，因为秩的不同，映射后的维度会有所不同

面（维度为2）

线（维度为1）

点（维度为0）

可以看到秩越大，映射后图形的维度越高。

2 矩阵是筛子

因为上面的结论，所以可以将矩阵  看作一个筛子：

那么矩阵的秩  可以看作筛眼的大小，  越小对应的筛眼越小（忽略掉筛子的形状，下面用带网格的圆来表示筛子）：

筛眼越小，自然漏过去的越小。

3 矩阵复合的秩

把矩阵的秩看作筛眼的大小还是有一定解释能力的。比如矩阵的秩有如下的性质，该性质也称为矩阵复合的秩：

可以看作两个筛子：

可以用带网格两个圆来表示这两个筛子，可以看到各自的筛眼大小不同，也就是各自的矩阵的秩不相同：

当这两个筛子叠在一起的时候，叠加部分的筛眼变小了，比单独某一个筛子的筛眼要小：

所以此时有：

当然还有可能  、  如下：

这时叠在一起时，叠加部分的筛眼等于其中某一个筛子的筛眼：

所以此时有；

综合起来就是：

4 满秩矩阵复合的秩

满秩矩阵  可以看作完全没有筛眼的筛子：

这样两者复合，筛眼大小就完全取决于  ：

所以可得到满秩矩阵复合的性质：

5 结语

用筛眼比做矩阵的秩

这个比喻虽然形象，但并不严谨。更多，更系统的线代知识，可以在马同学的网站上进行学习。