再看一道动点问题

问题：

如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，AC＝12cm．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为   cm；连接BD，则△ABD 的面积最大值为   cm²．

分析：

这是去年浙江的一道中考题，放在填空题的最后一题呈现，显然是用来设置坡度的。事实上，这也是一道老生常谈的动点路径问题，关键是找出动点的轨迹是什么。

之前的推文中已经讲过多次关于动点轨迹的问题，我们的突破口是找出运动变化过程中不变的量和不变的关系。

借助几何画板构图，追踪点的轨迹，我这里做出了相关的动画演示，帮助大家思考。

根据上图的结果，我们可以看出点D的运动轨迹是一条线段。但如何证明呢？我们需要寻找这个过程中的不变的一些关系。

考虑到△DEF是以D为顶点的等腰直角三角形，DE=DF，我们可以向AC、BC作垂线段，构造全等的直角三角形。

容易证得在点E的运动过程中△DGE≌△DHF这一关系是不变的，DG=DH，故而容易得到四边形GCHD为正方形，∠GCD为定值45°，从而点D的轨迹为直线型。

计算的问题就容易了。这里需要注意的是点E从A运动到C，点D事实上走了一个来回。参考答案 24-12√2

第二个空涉及△ABD面积的最值问题。一般而言这类问题中最值的取得会在特殊的位置，比如点D轨迹的端点处，或是AB与BD具备垂直这样的特殊的位置关系。利用几何画板，我们演示一下。

由动画数据我们可以看到，并不是在AB⊥AD时△ABD面积取得最大，我们要找出面积的具体关系来判断。

这里S△ABD=S△ABC+S△ACD-S△BCD，我想以此为突破口结果就不难得出当DG(或DH)最大时，△ABD面积最大。参考答案24√3+36√2-12√6