巧填幻方

宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。

这四个句子是什么意思呢？我们通过下面的一组图来加以理解。

先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我们是在格子上进行排列，就不必再进行“四维挺出”了），最后将虚线格子擦掉就可以了。

利用这种方法我们就很容易得到三阶幻方的填写结果。但是这种方法有一定的局限性，只能编排三阶幻方，如果要编排5×5，7×7，9×9，……等奇数阶幻方又该怎么办呢？我们介绍一种简单的通法——罗伯法。

1、在第一行正中央的方格子中填上1；

2、按斜上方向在1的右上角填入2，但出上框了，这时要把2改填在相对于原图对应的位置，即2所在这一列的最下边；

3、按斜上方向在2的右上角填入3，又出右框了，把3改填在相对于原图对应的位置，即3所在这一行的最左边；（上图1）

4、按斜上方向在3的右上角填入4，但与先填入的1重合了，这时就把4改填在3的下面，然后把5、6依次按斜上方向填入方格内；

5、按斜上方向在6的右上角填入7，但出框的右上角，这时就把7改填在6的下面，（与重合相同）。

重复上面的做法，把8、9依次填入方格中，这样就得到了图2，与左边的图H完全相同。

这种编排奇数阶幻方的方法叫“罗伯法”。使用“罗伯法”时总是向右上的斜行方向进行编排。罗伯法不仅可以编排三阶幻方，而且可以编排任何奇数阶幻方。下图就是用罗伯法编排的五阶幻方，大家可以在方格子中跟着做一、二次，并逐行、逐列及对角线检验幻和是否正确。同时大家可以自行尝试七阶、九阶、十一阶乃至更多阶幻方的填写。