《常微分方程》第四章课后答案（东师大版）

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第4章  n阶线性微分方程

4.1 内容提要

4.1.1学习目标

1.了解n阶线性微分方程解的存在唯- -性定理,理解n阶线性微分方程解的结构,通解基本定理和刘维尔公式.

2.熟练掌握n阶常系数线性方程的待定指数函数解法,求解非齐次方程解的常数变易法和待定系数法.

3.许多实际问题可以归结为二阶线性微分方程,学会其分析问题的步骤及解题方法.

4.知道幂级数求解定理及其应用.

5.能够利用拉普拉斯变换求解常系数线性方程的初值问题.

4.1.2导学

本章主要有两部分内容,第一部分是n阶线性微分方程的基本理论,重点是通解的结构。其推导过程与线性代数中的线性空间有关理论密切相关.第二部分主要是常系数方程的代数解法.

同学们在学习本章时,最好能与上一章线性微分方程组的有关理论对照学习,实际上在g4.1中已表明n阶线性微分方程可以化为等价的线性微分方程组.

本章习题中的证明题,以二阶线性方程为主,这是因为二阶线性微分方程在物理、力学与工程技术中是最常见的一类方程,有必要对其进行深人了解,在4.4以弹簧振动二阶方程为例,进行详尽分析,希望学员提高解决实际问题的能力.;

4.1.3内容小结

1.n阶线性微分方程基本定理.

(1)解的存在唯一-性定理,注意解的存在区间的整体存在性.

(2)齐次方程的所有解构成一个n维线性空间,齐次方程的通解由基本解组的线性组合构成.非齐次方程通解的结构.

(3)线性无关解的判别法.

(4)解与系数的关系，即刘维尔公式.

2.n阶线性微分方程的解法.

(1)求常系数齐次线性方程基本解组的待定指数函数法.

(2)求一般非齐次线性方程解的常数变易法.

(3)求特殊形非齐次常系数线性方程解的待定系数法.

(4)求二阶线性方程的幂级数解法.

(5)幂级数解法和拉普拉斯变换方法.

3.线性微分方程,特别是二阶线性微分方程在电学、力学等:

实际问题中有着广泛应用,本章主要介绍了弹簧振动和电振荡两个例子，通过这两个例子的学习，要学会利用微分方程解决实际问题的基本方法. ;

4.2疑难 点解析

4.2.1 n 阶微分方程的几何意义

我们知道一阶微分方程解的几何意义是二维空间xOy平面上的-条曲线,称为积分曲线,那么n阶微分方程的解是什么空间上的曲线呢?如果把n阶方程化成等价的- -阶微分方程组,就可以清楚地看出，n阶微分方程的一个解是n+1维空间