认知封闭性与数学实在论
认知封闭性与数学实在论
孟祥妲
作者简介：孟祥妲，中国人民大学哲学院逻辑学专业博士研究生。(北京 100872)
人大复印：《逻辑》2008 年 03 期
原发期刊：《湖北社会科学》2008 年第 2 期 第 116-118，134 页
关键词： 认知封闭性/ 数学实在论/ 唯名论数学/
摘要：利用认知封闭性这一心灵哲学概念，考察数学哲学中实在论与反实在论之争的问题。同时为现代柏拉图主义的数学实在论提供一种新的论证策略。
柯林·麦金在他的《我们能够解决心身问题吗？》一文中，为了心灵哲学的目的引入了认知封闭性的思想。有理由相信，这个概念加以改进或变化，可以具有广泛的形而上学适用性。认知封闭性原来的表述是，一种心灵M相对于一个性质P(或理论T)是认知封闭的，当由M掌握的概念形成程序无法扩展到对P的把握(或者对T的理解)。[1](p365)我认为，这个概念可以充当在数学哲学中解决实在论与反实在论之争的一把钥匙。使我们得以考察，我们的认识能力在与抽象之物建立联系又相互分离的过程中，究竟发生了什么。
按照柯林·麦金原来论文的说法，他所考察的认知封闭性是在不同种类的心灵(即不同物种)之间作比较所得的相对封闭性质。与之不同的是，我们谈论的是一种心灵(人心)对不同对象的封闭性(是否存在的)问题。就所针对的问题而言，二者的区别并不大，需要强调的是，当我们考察心灵的概念形成程序作用于抽象对象的时候，我们可能要改变这些概念的原意才行。
我们首要关心的是为什么人们会自然地形成关于数学抽象对象是实在的这种观念，以及这种实在观本身作为一种性质考察的时候，我们的认知相对它是封闭的。其次，我们要追问，如果数学对象的实在性的确是认知封闭的，它的认识论后果是什么，它是否取消了我们通常所关心的那些数学哲学问题。本文的另外一个目的，是要重申哥德尔式的现代柏拉图主义的数学实在论，同时对蒯因和普特南的“不可或缺论证”式的整体主义数学实在论以及唯名论数学哲学加以比较和评论。
认识论上的怀疑论和不可知论历史悠久，近代以来的哲学发展到处都能找到它们的影子。从表面上看，认知封闭性概念的表述是不可知论的某种形式。但是我宁愿把它看作是对人类全知性不可能的肯定表达。说理性有局限、不是万能的，已经是老生常谈——这种说法近于空洞。对于现代哲学而言，认识论的目的是在所有可能的范围内，说明理性的可能的界限在哪里，进而为人类的思考和活动提供恰当的合理性辩护。道理上讲，没有一种统一的形而上学方法(除了类似现象学那样的例外)找到人类心灵的统一界限。除非心灵哲学的计算主义成立——人的心灵活动是一种计算过程—我们可以给出一个严格的上界，超出之后都不再是这种意义上“可计算的”。
尽管上述想法会跟我们的认知封闭性概念密切关联，但是我们不必拘泥于这种想法。事实上，即便计算主义可以成立，也无非是把我们所面临的困难推到一种更广阔的背景上去。我们不妨对不同的领域逐个去考察理性的可能局限的问题。唯一值得我们注意的是，当我们考察数学哲学的论题时，计算主义会更加直接相关。
仅就数学实在论观念的产生而言，它可以是基于以下几种背景：人们在进行计数和计算的时候，会自然的由于成功性带来关于那些数学命题是正确的还是错误的、是真的还是假的这种观念；数学活动进一步发展，数学家会不断抽象出新的数学概念，他们发现这些概念似乎具有某种独立的结构，仅仅考察这些结构上的关系和性质，他们就能够造出一些有意义的命题，他们可以为这些命题的真或假达成某种共识，在这种共识基础之上，又可以不断继续前进；另一方面，数学本身最基本的要素来源于我们对物理世界的认识，数学会不断地表现出对科学的可应用性，更为极端的是，数学家们在纯粹概念的构造上走得足够远，却发现如此抽象的、完全为了不同的目的看上去与现实世界无关的结果，可以成为对物理世界恰当描述的工具。而神秘感恰好来源于此。
这不是一幅完整的图景，但对于我们的目的而言有很好的指示性作用。考虑人的经验结构，说数学抽象对象存在跟说物理对象存在是完全不同的。无论是数、集合和函数，都不是靠我们的感官可以把握的。我们需要一种概念形成程序的帮助，才能在我们的心里留下它们的印象和表征。需要指出的是，从先验的可能性出发，说认知封闭性对任何对象和性质都不成立与说一切对象和性质都对人的认知封闭，在逻辑上都是没有矛盾的。前者是说存在全知，后者是说感官和思维都是虚幻的。问题在于，怎么说明刚好有这样一组性质对认知封闭。也许需要特设性假设，也许还需要我们至今未曾考察过的、这些对象跟整个世界的外部关联。
如果数学对象是严格限制在有穷的范围内，我们所面临的困难会小很多。因为它可以跟我们的常识理性很好的结合起来，提供一种我们直观上易于接受的直觉形式，而使得对对象存在性的追问变得似乎不那么重要。基于一种显然是可行的观念下的操作，就可以为它提供合理性说明，无论说它是哪种意义上的存在都未尝不可。数学哲学的唯名论就是从这种常识理性出发的。当然，这种常识理性也可能隐藏一些难解之谜。问题是，无穷，能否合理地称之为对象？
我们的概念形成程序显然给了我们一个最下面一层的回答：我们会自然的形成无穷的观念，无论是一个无穷大的外部世界，还是一个抽象的、无穷长的序列。考虑有理数的情形，我们甚至可以说对某种无穷长序列的观念有着良好的感知能力。考虑无理数，清晰性消失，只有否定性结论。我们认知的概念形成程序似乎停下来了，我们甚至不能一般地说什么是一个确定的实数——更遑论我们有如此之强的无理(数)性和超越性。
更大的困难出现在整体这个概念上。我们会自然而然地把一组对象看作一个整体，甚或把对世界所能说的话看作是整体。虽然我们无论对整个宇宙还是对某个具体的对象都只能说有限的话。但是直觉告诉我们，我们仍然可以把它们当作确定的对象加以讨论。而形式化和元数学的发展，的确给我们提供了这种讨论的工具。很难说它不是我们概念形成程序的一个合理的组成部分。今天，我们像谈论一个群或者一个拓扑空间一样，谈论一个(形式)理论或者一个极大一致的句子集，甚至谈一个超过集合意义上的范畴。它们都能够为一个概念形成程序所捕捉，并借助各种数学手段谈论它们内部结构和真值。当然，我们可以说，由于它们的共同的“基础”问题，集合论中的那些否定性的和独立性的结果，模糊了谈论二者之间的界限。
这样，我们大致上可以把认知封闭性施加于数学实在论的两个方面。对实在论断言这一性质的封闭性是根本的。但是，它是否受制于人的认知结构和认知能力，以及究竟以何种方式受制约，这些都是无法证实的。我们的想象能力受制于逻辑规律——如果它试图合理的、正确的行事。我们的智力结构使我们不能够一下子、完全地捕捉到任何一般的无穷对象，而从数学唯名论的角度来看，数学的客观性及逻辑与计算等的先天性与必然性，可以通过考察由大脑的先天结构决定的我们的想象能力的界限来解释。[2](p10)在这一点上，数学唯名论观念所揭示的可能是正确的。我们不能够先验地知道我们所不知——不能先验的说人对无穷可以有哪些直观，哪些直观是理性触及不到的通常数学家们的信念是，人类能够提出的问题，人类就能解决它；而认知封闭性告诉我们，对于那个封闭的性质，我们不能合理的和恰好的提问。它允许我们提问题，但不允许我们究极。(考虑不完全性的强化形式：不可判定命题集不是递归可枚举的，这一点就更加明显了)。
经典的柏拉图主义数学实在论并不考虑这些问题。按照哥德尔的那种强的形式，数学实在论意味着接受所有数学语言中可以表述的抽象实体，无论是数、集合、类还是其上的各种构造，只要它们在数学实践中应用并且可以在逻辑推出。这种建立在概念实在论基础上的数学实在论，我将其称为建构论理性主义的哲学理论。
柏拉图主义的基本立场可以表述为：1.存在独立于人类认识的数学客体对象；2.存在关于这些对象的不依赖于(人的)证明的真命题；3.数学在本质上不是人的任意的创造。被强调的是独立性和客观性，但是人的认识如何发生作用是同样重要的，因为它无疑需要一种解释、说明甚至是证实。作为反实在论者的达米特对这种立场有一个很好的说明：按照数学理论的柏拉图主义解释，中心概念是数学真理概念，掌握属于数学理论语言的语句的意义就在于知道什么使该语句为真。
哥德尔正是这种意义上的柏拉图主义者。很容易看出来，作为一种形而上学，它是非常强的，几乎是一种理性主义的极致。它是人们关于世界的“理念”及认知和谐性和统一性的这一古老信条的现代翻版。我们数千年来都在找这种理念的独立存在和合理性，联系到哥德尔试图证明上帝存在的那个形式证明，不难理解，它们是基于更一般的、远为形而上学得多的信念的。总的来说，它不符合我们的“时代精神”。它必然地要诉诸一个完整的概念体系，并且，更为重要的，要诉诸于这个概念体系的严密化和精确化的过程。进一步的，它体现为一种自上而下的对概念把握的直觉层次。我们拥有的是对原初概念、派生概念等等的直觉，还包括这些直觉的总括之上的直觉，诸如此类。
有了现代逻辑的方法，应该说我们已经能够很好地重现数学家和哲学家所进行的创造性工作的背后的逻辑推理过程了。尽管由于逻辑尤其是一阶逻辑的良好性质，我们可以放心大胆的使用它。但是它对那些无穷多的可能的直觉层次并不能外部性的整体地把握。不完全性定理本身也昭示出直觉是严格的逻辑证明程序所不及。但是它是否能得出数学直觉的不可消去性呢？没有这样的直接结论。直觉全部都是可错的，并且直觉的内在结构非常复杂——它经常表现为，一个时代被认为是正确的数学直觉，到了另一个时代被一种新观点取代，它被抛弃掉了，错了！
依照哥德尔的意见，我们可以把一切都放心大胆地交给直觉，只要去抓住那个直观上合理的最基本的概念。我们假设放弃了前面那一种证明论辩护的必要性，那么这种概念论体系，我们姑且称之为理论T，它对我们的认知是开放的吗？这涉及现代数学哲学的根本问题：我称之为神秘主义和神秘感是否可消除的问题。如果数学是先天综合真理，这意味着，如果假设数学对象是客观存在的，那么从认识论的角度，我们将无法解释，我们究竟如何认识关于抽象数学对象的真理，尤其是关于实无穷的真理。[3](p-2)除了离散的序列和推导的那些全称的数论命题，我们的关于无穷的数学直觉，全都可以说是带有某种奇异性的。无论在集合论中还是在具体的数学理论中，都不难找出各种形而上学理由拒斥它们。而它们显然不能依靠自身来证明其合理性。
唯名论者恰好是看到了数学实在论所面临的这一最根本的认识论困难。认为这个难点使得数学实在论不可能成立，即如果假设抽象数学对象真的存在，数学定理是关于抽象数学对象的真理，我们的数学知识就不可解释。进一步的，他们称数学对象为“有用的虚构”，我们只是聪明而巧妙地谈论它们。可以把它们看作是“真实”的数学的模拟。
现在我们不得不承认，这种想法是有着部分合理性的。“存在”着这样的形而上学的概念论理论体系T，它对我们的认知是封闭的——第一，我们的知觉对其封闭；第二，从我们的知觉中引不出任何形式的推理使我们达到T。(心灵M的超验直觉和理论T的关系远为复杂，我认为它仍然是封闭的。)哥德尔本人在基本信念上是坚定的，但是在其形而上学构建上是不成功的。概念不确定性这一外部表现无疑困扰着他。虽然他给出了“不是概念在变，而是我们对概念的知觉在变”这样的回答。但是现在整理出的文献看不出对这一问题的进一步的、更为直接和明晰的解释。
柯林·麦金的论文的目的是在保留实在论的前提下取消身-心问题。而这里的目的有所不同，是期望能够在保留实在论的前提下找到一种比极端的理性主义者弱但是更有可能成功的策略，以说明柏拉图主义数学实在论将继续保持其生命力。
对于身-心问题，柯林·麦金的观点是悲观主义的同时也是乐观主义的：[1]对身—心问题达到一个建设性地解决的展望上，它是悲观主义的；但是在我们取消这个哲学困惑的希望上，它是乐观主义的。大体上，本文的结论性与之类似。
进一步说，柯林·麦金要取消的问题，不是一个没有价值的问题，而是一个没有答案的问题。它涵盖着，概念形成程序不足以形成任何可直观的关于心灵的(合乎形而上学需要的)概念。而我们最基本的最简单的数学直觉，或者不如说集合论直觉，却可以达到这一点。它的含义是，我们可以拥有次一级的概念，他们的层次较低，更直观明确。那会是几乎所有数学家都会同意的观点：序列的可直观性和属于关系有秩。
显然简单接受这些对于数学的具体目的而言是不够的。但是我们可以合理地说，直觉可以一再显现是坚实的。它还隐含着，我们的数学活动的客观性和数学对象的客观性是联系在一起的。我们全都拥有数学活动中的那些导致“共同同意”的交集。经典数学中的简单性和优雅型是附着于其客观性之上的(这当然是一个附加的认知论假设)，唯名论数学、直觉主义数学以及其他所有的潜在竞争者，就其构建形式而言，依科学的标准远逊之。它们全都繁重不堪，并且其适用性标准完全不清晰，无论对于纯数学命题还是对于物理学和其他自然科学而言。它们可能会悄悄地把外部支持引进来。
唯名论者说这是误会了数学哲学的目的，但是同样可以说，他们误会了人类认知的目的。如果我们满足于在此岸解决当下的难题，就可以不必过问彼岸世界的事情了。我要说的是，这种说法(在此岸解决)是不是此岸世界的特征，还在未定之天。很有可能，特设的、有直观和理性和常识理性作保证的属于此岸世界的方法(比如说，有穷主义)作为一个一揽子方案本身却是一个非此岸的问题。它同样要引起我们并不比其他方案更少神秘感的新的直觉。而且它对于消除神秘主义并没有任何帮助。(借助于心灵哲学的身-心关系问题，计算主义方法得到的是确实度降得更低的结论，操作主义或能行主义并不比这更好。)按照有穷主义的要求，能够不断地构造出有穷主义的系统并且证明其相对于经典数学的保守性，这仍然是形而上学信念。
参考文献：
[1][美]柯林·麦金.我们能够解决身心问题吗？中国社会科学院哲学研究所科学技术哲学研究室编.国外自然科学哲学问题[M].北京：中国社会科学出版社，1994.
[2][美]托马斯·内格尔.万以译.作为一只蝙蝠是什么样？人的问题[M].上海：上海译文出版社，2000.
[3]叶峰.当代数学哲学中的不可或缺性论证与一种唯名论数学哲学.教育部2004年社会科学重大课题攻关项目“当代科学哲学发展趋势研究”(项目编号04JED0004)资助(未发表版本)
[4]叶闯.直觉与哥德尔对数学概念实体存在之证明[J].哲学研究，2003，(7).