甘井子区九年级上学期期末第25题

「1」问如何想？

总题干中的条件，等腰三角形+中点+垂直

【1】条件点E在CD的垂直平分线上，可直接理解为EC=ED。

结论相当于问：两个等腰三角形的顶角之间的数量关系。

如上只是初审，如下是对题目条件初审基础上的深加工，就是进入到对题目条件的深度思考阶段了。

倍长中线，这是因为题目中中点条件，引发的深度思考

这样的深度思考过程，是平时经验积累所促成，它本应该开始于初二刚开始学几何的阶段，由此，到初三上学期末，经历了一年半的积累，可以说是得心应手之余，一蹴而就的事情。

就这一个问而言，难度只在于倍长AM还是EM而已，不过，这个难度的解决，只要我们分别试一试就可以做好。

倍长EM优于AM，除了上面的试一试之外，还有整体图形比较和谐美观这样的原因，更有证明简洁明了之妙。

这样的深度思考，由于过长时间的经验积累，其难度是呈现下降趋势的。可是，在得到两组全等三角形之后，需要太多的角相等，才能得出结论需要的两个角的关系。不过，这需要设一些相等的角，就可以把探索难度，降低为简单的代数运算了。

将上面的一段话，图示如下，结论是一目了然的，所用知识，初一就足够。

而另一种倍长中线的做法，见下图

却是让人非常费解，大家不妨按图索骥，给予类似的说明吧！

「2」问如何作？

首先，「2」问D点位置更特殊，当然条件EC=ED没有了，改变为DE与BC互相垂直。其他条件均保留，于是，大家很容易怀疑「1」中的结论也就不成立了，其实不然。

相对于「1」中的条件EC=ED，「2」变为点D在直线AC上，以及DE⊥BC。

其实，当点D在直线AC上时，EC=ED与DE⊥BC是一组等价条件。

数学里有个等价符号，它是这个样子的<=>，我用语言描述一下，就是中间一个等号，等号左边是个不等式里面的小于号，等号右边是个大于号。

这个符号是什么意思呢？

比如，我们刚刚说，EC=ED与DE⊥BC是一组等价条件，可以记为EC=ED <=> DE⊥BC，说的是，左边EC=ED成立，可以得到右边DE⊥BC也成立，反之亦然。

扯了半天等价符号，你好像觉得，怎么跟本题越来越远了，实则不然，大家应该觉得是越来越近才对。

为什么呢？你如果真真正正的理解我上面所说，我劝你最好停下你的双眼往下扫描，按我刚刚说的意思，自己重新琢磨这个题应该怎么作，你应该能得到和我下面一样的解答，然后你会很开心的，就跟大冬天吃根雪糕似的

如果你还是不明白，就请一个字不差的看我下面的解答。

先在ME上取点F，使得FD=FC，并且设∠ABC=m

于是，所有条件都满足「1」中需要的条件，于是就由「1」中结论∠DFC=180-∠BAC=2m，得到DF⊥BC，如果「2」条件DE⊥BC，那不就是点E点F重合吗？

既然重合，我们就有两个新的、对解决问题有用的条件：EC=ED，∠DEC=2∠ABC

再用上又增加的条件tan∠ABC=k，我们就只要过点E作CD垂线EG就行了。

此时有：

∠DEG=∠CEG=∠ABC，其正切值都是k

只要再设EG=x，则CG=DG=kx，用一次勾股定理算出CE就可以解决问题。

当然了，增加的条件tan∠ABC=k，却是很有新意的，一改之前所有几何题，都给两个线段k倍关系那样，有点革命的火药味。

不过，给的条件tan∠ABC=k，也还是可以转化等腰三角形底边高与底一半之比为k。这样的过往的经验理解，对此题而言，可以不客气的说：害死人！

最后，我想简单总结一下这道题。

在我发上文的留言里，家长们都说这个压轴题太难了，有点怀疑自己孩子平时的复习是否有效，担忧之态是急切的，我觉得也是正常的。

因为，就本题而言，倍长中线倒是经常练习，孩子掌握的也是没什么大问题的。

可是，压轴题的压轴问用的同一法，以及等价条件的理解，是被初中三年大部分情况下所忽视的。

如果大家要说，不用本人说的这样非正常思考，用上平时常见套路也能解决的话，那么我就要问了，为什么实际并非如此呢？！

2021年大连市各区第一次模考25题「2」