弦图模型分析破解（一）

1．内弦图

如图，在正方形ABCD中，BF⊥CG，CG⊥DH，DH⊥AE，AE⊥BF，则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．

证明  因为∠ABC＝∠BFC＝90°

所以∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB－90°．

所以∠ABE＝∠FCB．

又因为AB＝BC．所以△ABE≌△BCF，

同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．

2．外弦圈

如图，在正方形ABCD中，点M，N，P，Q在正方形ABCD边上，且

四边形MUPQ为正方形，则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ．

证明  因为∠B＝∠QMN＝∠C＝90°，

所以∠BQM＋∠QMB＝∠QMB＋∠NMC＝90°，

所以∠BQM＝∠NMC．

又因为QM ＝MN，所以△QBM≌△MCN．

同理可得△QHM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ．

3．括展

（1）如图，在Rt△ABH中．∠ABH＝90°，BE⊥AH于点E．所以

△A BE≌△BHE≌△AHB．

（2）如图，在Rt △QBM和Rt△BLK中，QB＝BL，QM⊥BK，所以

△QBM≌△BLK．

证明  因为∠BLK＝90°，QM⊥BK，

所以∠KBL＋∠QMB＝∠KBI十∠K＝ 90°

所以∠QMB＝∠K，

又因为QB＝ BL．

所以△QBM≌△BLK．

【典型例题1】 四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，F在直线CE的同侧），连结BF．当点E在线段AD

上时，AE＝1，求BF的长．

【答案解析】如图，过点F作FH ⊥AD交AD的延长线于点H，

延长FH交BC的延长线于点K．

因为四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，

根据“弦图模型”可得△ECD ≌△FEH，所以FH ＝ED＝AD－AE＝3，EH＝ CD＝4．

因为CDHK为矩形，所以HK＝CD＝4，CK＝DH＝EH－ED＝1．

所以FK＝ FH十HK＝7，BK＝BC＋CK＝5．

所以

【典型例题2】如图，△BCD为等腰直角三角形，∠CBD＝90°，∠BAC＝ 45°，若S_△ACD＝4．5，求AC的长．

【答案解析】如图，过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BF交EB的延长线于点F．

由“外弦图模型”可得△BFD≌△CEB，

所以BF＝CE．

易证AE＝BE，所以AC＝EF，

本文待续..

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