向量的本质是什么，用其证明余弦定理貌似没有逻辑意义，人为定义的为何可以用作证明几何？
(感谢 @行路难188190937 的邀请)
题主的这些疑问小石头在中学时代也产生过，一直困扰了很长时间，后来才慢慢想通了，这里将自己当时的心路历程与大家分享。当然，大抵是因为小石头比较愚笨，所以才会有诸多疑问的，大家可能不会陷入这些纠结，对于聪明的条友全当茶余饭后的笑话看看，不必当真！
疑问1：什么是向量？
我们知道平面上规定了长度的直线段有两个端点，如果再指定其中一个是起点（另一个自然是终点），则直线段就具有了从起点指向终点的方向，我们在终点处添加箭头表示这个方向，称这样规定有长度和方向的直线段 为 矢量，用粗体小写字母（或线段上面加箭头）来表示，例如：𝐚 。
我们不固定矢量的起点，让矢量可以自由移动，但不管矢量起点移动到哪里，只要长度和方向一样，就都是同一个矢量 。
当矢量的起点固定到原点O时，矢量的终点决定了矢量的大小和方向，从而决定了矢量。这说明矢量和平面上的点一一对应，而每一个点又都有唯一的平面坐标，这些坐标被称为向量，于是矢量就和向量一一对应，例如：𝐚 ↔ A ↔ (a₁,a₂)。
结论：
向量和矢量一一对应，向量是矢量的代数形式，矢量是向量的几何形式，我们认为它们是同一个东西，英文都是 vector。
疑问2： 向量的运算是怎么来的？
矢量的长度，用| ⋅ |来表示，例如：|𝐚|。
设 𝐚=(a₁,a₂) 根据勾股定理，得出，
|𝐚| = √(a₁² + a₂²)
───
将矢量 𝐛 的起点移动到矢量 𝐚 的终点上，这样从 𝐚 的起点到 𝐛 的终点就构成一个新的矢量 𝖈，称为 𝐚 与 𝐛 的和，记为 𝖈 = 𝐚 + 𝐛，这就是矢量的加法运算。
再设，𝐛=(b₁,b₂)，很容易通过几何关系得到，对应的向量加法定义，
(a₁,a₂) + (b₁,b₂) = 𝐚 + 𝐛 = 𝖈 = (a₁+b₁, a₂+b₂)
由于 𝖈 其实是 以 𝐚 和 𝐛 为边的平行四边形的 对角线，所以 显然 矢量的加法 满足：
- 交换律：𝐚 + 𝐛 = 𝐛 + 𝐚
也可以验证对应的向量加法交换律，
(a₁,a₂) + (b₁,b₂) = (a₁+b₁, a₂+b₂) = (b₁+a₁, b₂+a₂) = (b₁,b₂) + (a₁,a₂)
───
将𝐚 的长度缩放k倍后，得到长度为k|𝐚|的新向量𝐛，记为 𝐛=k𝐚，称为矢量的数乘运算。
根据相似三角形的等比关系，由
b₁/a₁=|𝐛|/|𝐚|=k
b₂/a₂=|𝐛|/|𝐚|=k
有，
b₁=ka₁，b₂=ka₂
所以，得到，向量的数乘定义，
k(a₁,a₂) = k𝐚 = 𝐛 = (b₁,b₂) = (ka₁,ka₂)
当k>0时，𝐛和𝐚方向相同；当k=0时，𝐛缩成一个点，称为零矢量，记为 0；当k<0时，𝐛和𝐚方向相反。
特别的，令 -𝐚=-1𝐚 是和 𝐚 长度相同方向相反的 矢量。
───
利用 矢量加法和数乘，可以很方便定义矢量减法，
𝐚-𝐛=𝐚+(-𝐛)=𝐚+(-1𝐛)
对应的向量减法定义为，
(a₁,a₂) - (b₁,b₂) = 𝐚 - 𝐛 = 𝐚 + (-1𝐛) = (a₁,a₂) + (-1(b₁,b₂)) = (a₁,a₂) + (-b₁,-b₂) = (a₁-b₁,a₂-b₂)
───
这样以来 以 矢量 𝐚 和 𝐛 为边的平行四边形 的对角矢量 分别 是 𝐚 + 𝐛 和 𝐚 - 𝐛，我们定义 两个对角矢量 的长度的 平方差 的 四分之一 为 𝐚 与 𝐛 的点乘，记为 ①：
𝐚 ⋅ 𝐛 = (|𝐚 + 𝐛|² - |𝐚 - 𝐛|²)/4
将 𝐚=(a₁,a₂)，𝐛=(b₁,b₂) 代入上式，有，
(a₁,a₂) ⋅ (b₁,b₂) = (|(a₁,a₂) + (b₁,b₂)|² - |(a₁,a₂) - (b₁,b₂)|²)/4 = (|(a₁ + b₁,a₂ + b₂)|² - |(a₁ - b₁,a₂ - b₂)|²)/4 =( (a₁ + b₁)² + (a₂ + b₂)² - (a₁ - b₁)² - (a₂ - b₂)²)/4 = ((a₁²+2a₁b₁+b₁²) + (a₂²+2a₂b₂+b₂²) - (a₁²-2a₁b₁+b₁²) - (a₂²-2a₂b₂+b₂²))/4 = (4a₁b₁ + 4a₂b₂)/4 = a₁b₁ + a₂b₂
即，得到向量的点乘运算定义，
(a₁,a₂) ⋅ (b₁,b₂) = a₁b₁ + a₂b₂
疑问3： 向量性质的几何意义是什么？
由 模 和 向量点乘 的定义，有 向量性质 ②，
|𝐚|² = a₁² + a₂² = a₁a₁ + a₂a₂ = (a₁,a₂)⋅(a₁,a₂) = 𝐚⋅𝐚
几何上，考虑 ① 处，当 矢量 𝐛=𝐚 时，以𝐚和𝐛 为边的 平行四边形 就 变成一条线段，这时 有，
𝐚⋅𝐚 = (|𝐚 + 𝐚|² - |𝐚 - 𝐚|²)/4 = (|2𝐚|² - |0|²)/4 = |2𝐚|²/4 = (2|𝐚|)²/4 = |𝐚|²
这样就得到对应的矢量性质。
上面的推导过程中，使用到性质 |k𝐚|=|k||𝐚|，这在矢量上是显然的，而在向量上有，
|k𝐚|=|k(a₁,a₂)|=|(ka₁,ka₂)|=√(ka₁)² + (ka₂)²=|k|√(a₁² + a₂²)=|k||𝐚|
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设 α 为 矢量 𝐚 与 𝐛 的夹角，β 是 矢量 𝐛 与 X轴正方向的夹角，
根据勾股定理有，
cos(α+β) = a₁/|𝐚|，sin(α+β) = a₂/|𝐚|
cos β = b₁/|𝐛|, sin β = b₂/|𝐛|
再根据差角公式：
有，
cos α = cos((α+β) - β) = cos(α+β) cos β + sin(α+β) sin β = (a₁/|𝐚|)(b₁/|𝐛|) + (a₂/|𝐚|) (b₂/|𝐛|) = a₁b₁/|𝐚||𝐛| + a₂b₂/|𝐚||𝐛| = (a₁b₁ + a₂b₂)/|𝐚||𝐛| = (a₁,a₂)⋅(b₁,b₂)/|𝐚||𝐛| = 𝐚⋅𝐛/|𝐚||𝐛|
于是得到 夹角公式：
α = arccos(𝐚⋅𝐛/|𝐚||𝐛|)
由，上式 有 ③，
𝐚⋅𝐛 = |𝐚||𝐛| cos α
这表明 矢量点乘的 另外一个 几何解释，即，矢量 𝐚 在 𝐛 上的投影长度 和 𝐛 的长度 之积（或 𝐛 在 𝐚 上的投影长度 和 𝐚 的长度 之积）。
───
点乘 具有交换律，
𝐚⋅𝐛 = (a₁,a₂) ⋅ (b₁,b₂) = (a₁b₁,a₂b₂) = (b₁a₁, b₂a₂) = (b₁,b₂) ⋅ (a₁,a₂) = 𝐛⋅𝐚
这在几何上是一目了然，
我们还能证明 点乘 对于 加法 具有分配率，又设 𝖈=(c₁,c₂) 则，
(𝐚 + 𝐛) ⋅ 𝖈 = ((a₁,a₂) + (b₁,b₂)) ⋅ (c₁,c₂) = (a₁+b₁,a₂+b₂) ⋅ (c₁,c₂) = ((a₁+b₁)c₁, (a₂+b₂)c₂) = (a₁c₁+b₁c₁, a₂c₂+b₂c₂) = (a₁c₁, a₂c₂) + (b₁c₁, b₂c₂) = (a₁,a₂) ⋅ (c₁,c₂) + (b₁,b₂) ⋅ (c₁,c₂) = 𝐚 ⋅ 𝖈 + 𝐛 ⋅ 𝖈
进而，点乘 对于 减法也满足 分配率，
(𝐚 - 𝐛) ⋅ 𝖈 = (𝐚 + (-1𝐛)) ⋅ 𝖈 = 𝐚 ⋅ 𝖈 + (-1𝐛) ⋅ 𝖈 = 𝐚 ⋅ 𝖈 + (-1(𝐛 ⋅ 𝖈)) = 𝐚 ⋅ 𝖈 - 𝐛 ⋅ 𝖈
这个推断规程使用了 结合律，
(k𝐛)⋅𝖈 = (k(b₁,b₂))⋅(c₁,c₂) = (kb₁,kb₂)⋅(c₁,c₂) = ((kb₁)c₁,(kb₂)c₂) = (k(b₁c₁),k(b₂c₂)) = k((b₁c₁),(b₂c₂)) = k((b₁,b₂)⋅(c₁,c₂)) = k(𝐛⋅𝖈)
在几何上有，
|𝐚 + 𝐛| cos β =|OF| = |OI| + |IF| = |OI| + |BL| = |BL| + |OI| = |𝐚|cos α₁ + |𝐛|cos α₂
于是，
|𝐚 + 𝐛||𝖈| cos β = |𝐚||𝖈|cos α₁ + |𝐛||𝖈|cos α₂
再，利用③处结论，即得，
(𝐚 + 𝐛) ⋅ 𝖈 = 𝐚 ⋅ 𝖈 + 𝐛 ⋅ 𝖈
好了，解决了以上这些疑问后，自然就可以使用 向量来证明余弦定理了：
设，向量 𝐚=(a₁,a₂)，𝐛=(b₁,b₂)，𝖈=(c₁,c₂)，围成下图中的三角形，
根据图中向量的关系，有，
𝖈 =𝐚 - 𝐛
于是，利用 点乘的分配率和交换律，有，
𝖈⋅𝖈 = (𝐚 - 𝐛)⋅(𝐚 - 𝐛) = (𝐚 - 𝐛) - 𝐛⋅(𝐚 - 𝐛) = (𝐚⋅𝐚 - 𝐚⋅𝐛) - (𝐛⋅𝐚 - 𝐛⋅𝐛) = 𝐚⋅𝐚 - 𝐚⋅𝐛 - 𝐛⋅𝐚 + 𝐛⋅𝐛 = 𝐚⋅𝐚 - 𝐚⋅𝐛 - 𝐚⋅𝐛 + 𝐛⋅𝐛 = 𝐚⋅𝐚 + 𝐛⋅𝐛 - 2𝐚⋅𝐛
再利用②处的性质，有，
|𝖈|² = |𝐚|² + |𝐛|² - 2𝐚⋅𝐛
最后，将③处公式代入上式，立即得到，
|𝖈|² = |𝐚|² + |𝐛|² - 2|𝐚||𝐛| cos α
即，我们熟悉的余弦定理了：
c² = a² + b² - 2ab cos α
本来，余弦定理 是直接通过几何方式证明的：
然后利用余弦定理，参考①处图，有，
|𝐚 - 𝐛|² = |𝐚|² +|𝐛|² - 2|𝐚||𝐛|cos α
|𝐚 + 𝐛|² = |𝐚|² +|𝐛|² - 2|𝐚||𝐛|cos (180° - α) = |𝐚|² +|𝐛|² + 2|𝐚||𝐛|cos α
两等式相加，即得，
2(|𝐚|² +|𝐛|²) = |𝐚 + 𝐛|² + |𝐚 - 𝐛|²
这称为，平行四边形公式：平行四边形的两对角线的平方和 等于 四条边的 平方和。
实际上，数学家将 全体向量组成的 集合 称为 欧氏向量空间，欧氏向量空间里定义了 向量的 加法、数乘、点乘、模 甚至 距离，之后 数学家 从 欧氏向量空间 中抽象出了 赋范线性空间， 在其中，模满足 平行四边形公式 是 ① 处 点乘 定义 良好的 充要条件。
（没错，小石头就是喜欢在课本上乱画的学渣，真怀念中学时代呀！作为学渣，如此简单的向量问题，也啰哩啰嗦的说了这么一大堆，聪明的观众一定有更高明的认识，欢迎评论区讨论！）
2021/2/8 补充：
同一个数学概念，因为数学领域不同，有不同的认识，例如，数乘运算：
● 矢量𝐚的长度乘以因子k，方向保持不变（或相反）；
● k(a₁, a₂, ..., aᵣ) = k(a₁, a₂, ..., aᵣ)；
● 线性运算，满足：
1𝐚 = 𝐚
(kl)𝐚 = k(l𝐚)
(k + l)𝐚 = k𝐚 + l𝐚
k(𝐚 + 𝐛) = k𝐚 + k𝐛
● 保持加法的 域F 在 Abel群 M 上的 半群作用，λ: F×M→M , F →(M→M)。
所谓保持加法指的是保持Abel群的加法（域也是Abel群），即：
λ(k + l, 𝐚) = λ(k, 𝐚) + λ(l, 𝐚)
λ(k, 𝐚 + 𝐛) = λ(k, 𝐚) + λ(k, 𝐛)
所谓半群作用指域作为乘法半群的作用，即：
λ(1)(𝐚) = 𝐚
λ(kl)(𝐚) = λ(k)λ(l)(𝐚)
就有四种不同的定义，从《解析几何》→《线性代数》→《抽象代数》，它们是彼此兼容，相互印证的，它们并没有优胜劣汰。