大招!容斥问题中三集合标准与非标准

在公考考试中，容斥问题在各类题型中相对来说比较容易解决，容斥问题又称集合问题或者去除重复问题，即这类题中把每个部分总体加上，去除每个部分与其他部分重复的部分，这类问题中相对来说较为复杂的是三集合问题，而对应三集合的公式主要是两个，标准公式以及变型公式，标准公式为:Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-Ⅰ·Ⅱ-Ⅰ·Ⅲ-Ⅱ·Ⅲ+Ⅰ·Ⅱ·Ⅲ=总个数- 三者都不满足个数。变型公式为:Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-只满足两个条件之和-2×三者都满足的数量=总个数- 都不满足的个数，这两个公式有典型的区别，标准公式中Ⅰ·Ⅱ、Ⅰ·Ⅲ、Ⅱ·Ⅲ分别代表条件1与2，条件1与3，条件2与3重叠的部分，而且每个部分中都会包含Ⅰ·Ⅱ·Ⅲ即三个条件都满足的，而变型公式的中只满足两个条件的加和，即不包含三个条件都满足的部分，这个是这两个公式典型的区别。下面通过几个题来辨别加以理解。

【例1】针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有( )人。

A.20

B.18

C.17

D.15

【答案】A

【华图解析】本题可以看出题干中8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，这三个条件中都包含了这三个景点都喜欢的人数，即用标准型公式，根据三集合标准型公式:Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-Ⅰ·Ⅱ-Ⅰ·Ⅲ-Ⅱ·Ⅲ+Ⅰ·Ⅱ·Ⅲ=总个数- 三者都不满足个数，设都不喜欢的人数为x，则100-x=28+30+42-8-10-5+3，则不喜欢任何一个的人数x为20人。所以本题选择A选项。

【例2】某单位举办设有A、B、C三个项目的趣味运动会，每位员工三个项目都可以报名参加。经统计，共有72名员工报名，其中参加A、B、C三个项目的人数分别为26、32、38，三个项目都参加的有4人，则仅参加一个项目的员工人数是

A. 48

B. 40

C. 52

D. 44

【答案】C

【华图解析】本题中求解仅参加一个项目的人数，根据题意可得仅参加一个项目的人数等于总数中把仅参加两项的人数与参加三项的人数都求解出来，题中未知的书仅参加两项的人数，仅参加两项的人数不包含三个都满足的，可以考虑用三集合变型公式，假设只参加两项运动的人数为x，可以得到:

得到x=16，那么只参加一项的人数为72-16-4=52，答案选择C选项。

【例3】某单位有72名职工，为丰富业余生活，拟举办书法、乒乓球和围棋培训班，要求每个职工至少参加一个班。已知三个班报名人数分别为36、20、28，则同时报名三个班的职工数至多是()。

A.6人

B.12人

C.16人

D.20人

【答案】A.

【华图解析】标记量化关系“至少”、“分别”、“三个”、“至多”，设同时报三个班、只报名两个班的人数分别为x、y，根据三集合非标准型公式可得72=36+20+28-y-2x，化简得2x=12-y，要使x取最大值，则y取最小值0，此时x=6，选择A。