郑毓信：“数学深度教学”十讲之五——思维的深刻性与“联系的观点”
以下转向“深度教学”的第二个含义：我们应由具体的数学方法和策略过渡到一般性思维策略与思维品质的提升。由于这是一个较新的论题，我们将对此作出较详尽的论述，包括给出若干具体教学建议，以及一些相关的关键词。
从“深度教学”的角度看，我们应当通过数学教学努力提升学生思维的深刻性，即帮助他们逐步学会更深入地思考。这是特别重要的一点。
上述要求直接涉及“高度的抽象性”这一数学的本质特点：通过由特殊上升到一般，我们可以更深刻地揭示事物和现象的内在规律与本质；又由于将事物与现象联系起来加以考察是实现抽象的基本途径，因此只有从更广泛的角度，即用联系的观点进行分析思考，我们才能达到更深的认识程度，如此才能更好地发现不同对象之间的联系。
事实上，这正是国际数学教育界何以对“联系的观点”予以普遍关注的主要原因。例如，全美数学教师理事会（NCTM）2000年颁布的《学校数学的原则和标准》，以及国际教育署与国际教育学会2009 年推出的指导性手册《有效的数学教学》，都将“联系”列为数学教育最重要的“标准”之一。与此相对照，以下的论述十分清楚地表明了“联系”作为一种普遍性思维策略的重要性：“找出各种事物之间的联系是教育家们竭尽全力思考的问题……当学生能够用相互联系的观点看待各种事物的时候，他们的学习生涯就开始了。我建议把发现事物之间的联系当作基础学校课程的首要目标。”（多琳语）
由以下实例，我们可以清楚地看出“联系的观点”对于数学教学的重要性。
【例5】“认识三角形”的教学
局限于这一内容的教学正是以下思考的明显特点：“这节课有三个知识目标：知道三角形的样子；了解三角形的组成；理解三角形三边关系。三角形的样子，学生基本都已知晓……三角形的顶点、边、角，部分学生可能没有系统了解过，但并非难点……三角形三边关系，既是本课的重点、也是本课难点。”又，“三角形三边关系可以分成三种情况进行研究。其中，'两小棒长度和大于第三根小棒能围成三角形’和'两小棒长度和小于第三根小棒不能围成三角形’这两个结论显而易见。而'两小棒长度和等于第三根小棒’这种情况，学生在操作后常常会认为能围成三角形……关于怎样突破这一教学难点，教师们想了很多方法……”
笔者以为，我们在此应当更深入地思考以下两个问题：
（1）“动手操作”是否为学生学习“三角形三边关系”的唯一途径？
（2）这一知识与学生已学过的其他知识之间是否存在一定的联系？
以下是关于同一内容的另一不同设计（范午英，“跳跃的数学联系——有关'平面图形’的两个教学片断”，《小学教学》，2013年第12期），而其主要特征就是采取了“联系的观点”——
“我在黑板上画出两个点B、C，并问：'同学们，从点B到点C的最短距离怎么画？’学生画出了一条线段。我顺势画了一条折线，问道：'如果走其他路线，还有更短的吗？为什么？’'两个点之间走直线是最短的，其他的路线多多少少拐弯了。’学生说。我在折线的拐点处标出字母A（图5）：'这就是三角形ABC，如果不看点A，三角形就可以看成是B、C 之间的一条线段和一条折线。你有什么发现？’
'折线一定比线段长，即便是微微撑起也是折线。’'BC 一定是最短的，BA+AC 一定比BC 长。’
'换一个角度看，任何一个三角形都可以看成是由两点之间的一条线段和一条折线组成的。’
不费吹灰之力，就得到了下面的结论：任意三角形的两边之和一定大于第三边。”
就“联系的观点”在数学教学中的应用而言，我们可区分出三个不同的层次（: 1）“比较”的应用；（2）“全局观念”的指导；（3）建立“结构性认识”。
第一，数学中所说的“比较”，既指找出对象的共同点，也指集中于对象的不同之处，或是同时关注它们的“同与不同”。对此，我们可联系数学中的抽象、分类与类比联想做出具体分析，包括总结出相应的方法论原则，如“举三反一”“举一反三”“求同存异”等。
第二，所谓“全局观念”的指导，是指跳出细节从整体上进行分析思考，并用整体性认识指导各个具体内容的教学。以下就是这方面工作的两个关键：（1）抓好“种子课”，突出基本问题；（2）注重认识的发展，“用发展代替重复”。（俞正强语）
例如，尽管“度量问题”包含众多内容，但它们有这样一个共同的核心：所有这些内容都是围绕“度”和“量”这两个关键词展开的。这就为我们具体确定所说的“种子课”，以及如何从事相关教学提供了直接基础。
俞正强老师认为：“以计量单位为例，在小学数学中，主要的计量单位一共有八类。这八类中，长度单位是小学生最早接触的，也是最基本的。因此，长度单位的学习在小学数学中应该具有种子特质。而在这个系列中，第一节课'厘米的认识’无疑是最重要的，也就是本文意义的种子课。”（俞正强，《种子课——一个数学特级教师的思与行》，教育科学出版社，2013）
以下则是“用发展代替重复”的关键所在：即使具有相同的基本问题，在不同情况下也会有不同的含义或重点。正因为此，我们在教学中不仅应当帮助学生很好地认识新的内容与已学过内容之间的共同点，也应注意分析新的内容有什么不同的特点，特别是，就新情况而言，什么样的度量单位是适当的，合适的度量方法与工具又是什么？
例如，如果说“厘米的认识”的教学应当突出“度量单位的标准化”这样一个思想，那么“分米”、“米”与“毫米”等多个长度单位的引入就清楚地表明了度量单位的相对性，即我们应当针对不同的情境与需要选择适当的度量单位。
由以下实例可以看出，是否具有全局观念对教师而言也特别重要。
【例6】你是否也有类似的焦虑
这是一位教师在笔者演讲时提出的一个问题：“你讲的都对，但现实中有这么多任务需要完成，我们根本就没有时间按你说的去做，特别是让学生有更多时间进行思考。”
对于这位教师所提的问题，当然可以从多个不同角度进行分析。但笔者在此所关注的主要是这样一个“潜台词”：“万一教学中漏掉了什么，考试考砸了可怎么得了？”
进而笔者以为，上述的“焦虑”只是表明了提问者“缺乏底气”；而要解决这一问题，教师就必须超越各个具体内容从更高层面进行分析思考，真正弄清什么是其中的重点和难点，什么又是无关重要的枝节小事，从而在教学中能有所舍弃，即使一次、一时考砸了也不至于惊慌失措。
第三，这里所说的“结构性认识”可以被看成“整体性认识”的进一步提升，即我们如何通过总结、反思与“再认识”，使学生能够按照逻辑的顺序（由简单到复杂、由低维到高维）更好地把握各个相关的内容，特别是它们的内在联系，包括重点与关键等。例如，小学几何教学的一条主线即是研究对象由“一条直线”逐步扩展到“两条直线”“三条直线”……
再者，我们应当注意研究数学教学的“大道理”，这也可被看成强调整体分析与结构性认识的一个直接结论。以“比较”在小学“数与数的运算”学习中地位的分析为例——
“可以说，'比较’这一数学思想贯穿了小学数学学习的始终，对此可简单地罗列为下列几个典型句式：
第一阶段（一、二年级）：比多（少）几？
第二阶段（三、四年级）：是的几倍（几倍多（少）几）？
第三阶段（五、六年级）：是的几分之几（比多（少）几分之几）？”（俞正强，《种子课——一个数学特级教师的思与行》）
最后，依据上述分析，相信读者可以更好地理解笔者关于数学教学的这样一个建议：“数学基础知识的教学，不应求全，而应求联。”更进一步地，我们在教学中应当很好地突出这样一个关键字：“联”！