【Stokes 定理】图解高等数学-下 27

13.7 Stokes 定理

Stokes 定理告诉我们, 三维空间中的曲面边界上的线积分等于向量场函数旋度在法向分量的曲面积分.

环量密度: 旋度

之前看到在二维空间中向量场 F = Mi + Nj 在某点的旋度是一个数值 ∂N/∂x−∂M/∂y∂N∂x−∂M∂y. 而在一个三维空间内向量场(如流速场)中, 旋度就可以度量场中某点 P 处的旋转程度. 此时旋度为一个向量, 方向为该旋转轴的方向(旋转平面的法向量), 场中最大旋转的速度向量为:

观察下面动图, 三维空间中该曲面上 3 个不同的点处旋度动画:

• 点1 - 旋度>0, 逆时针旋转;

• 点2 - 旋度<0, 顺时针旋转;

• 点3 - 旋度=0.01, 接近0, 所以几乎没有旋转;

Stokes 定理

Stokes Theorem 是格林定理旋度形式在三维空间的推广. 当向量场是连续的, 且在曲面 S 上处处可微的情况下, 定理成立.

Stokes 定理: 向量场 F = Mi + Nj + Pk 绕一个定向曲面 S 的边界 C 沿与曲面单位法向量 n 成逆时针方向上的环流量等于 (∇×F)⋅n 在 S 上的积分.

可以观察下面动图, 来更好地理解 Stokes 定理.

曲线 C 一定要是一个空间中封闭的曲线, 但是曲面 S 可以是任何一个以 C 为边界的曲面(如下动画所示):

由 Stokes 定理可知, 如果两定向曲面 S1 和 S2 有相同的边界 C, 则他们的旋度积分也相等.最后推荐观看《轻松理解散度和旋度 - 数学知识的动画解析》这个短片, 一定会有更深理解.