【第二类线积分, 环量和流量】图解高等数学-下 22

13.2 功, 环量和流量

空间中力沿曲线所做的功

也就是第二类线积分. 假设向量场 F(x,y,z) =M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k 表示空间区域中分布的力, r(t) 为该区域内一光滑曲线 r(t) =g(t)i+h(t)j+k(t)k, a≤t≤b . 那么 F·T 为 F 在曲线的单位切向量上的标量, 沿曲线的积分即为力 F 沿曲线从 a 到 b 所做的功.

也就是把曲线轨迹分成这些很小很小的线段, 对每个线段都有一个与之对应的单位切向量, 并求出每个向量与对应外力的点积, 并把所有的点积加起来, 自然而然就得到所求的结果. 请看下面的动画:

第一类线和第二类积分可以看下面动画显示出的区别来:

现在看三维中力场中质点的运动, 它的轨迹比较复杂(螺旋线), 并且外力不是恒力. 也就是每个点处的外力都不一样, 现在想要算出外力所做的总功, 数学上也是采用第二类线积分(在向量场中的线积分)来解决.

观察下面三维力场, 为了更清楚观察, 故只在将三个主轴平面上向量标识出来.

正如前面所述 F 和 T 的内积实际上就是 F 在单位切向量上的投影, 计算出来的结果再做第一类曲线积分. 也就是把曲线轨迹分成这些很小很小的线段, 对每个线段都有一个与之对应的单位切向量, 并求出每个向量与对应外力的点积, 并把所有的点积加起来, 自然而然就得到所求的结果. 我们来观察下面的动画来理解整个过程:

记法与计算

真正计算的话, 并不会按照定义的方式来进行, 假设 F= {f,g,h} 有三个分量, 且曲线 C 的参数方程为: r(t)=(x(t), y(t), z(t)), a ≤ t ≤ b, 则会按照下面式子来进行计算线积分的结果.

流量积分与环流量

如果假设 F 不是力场, 而是空间中的速度场, 这种情况下 F·T 沿曲线的积分就是流体沿曲线的流量.

穿过一平面曲线的流量(通量)

如果想要计算流体流过有 xy 平面一光滑曲线 C 所围成区域的速率, 只需要计算 F·n 在 C 上的线积分. 这是流体速度场在曲线的外法向量方向上的分量. 这个积分值既是 F 穿过 C 的流量(Flux).

下面是平面内穿过一闭曲线的流量(Flux Across a Closed Curve in the Plane)定义: