【三角形重心/外心/垂心/欧拉线】- 图解初中数学

任何三角形都存在一条神奇的欧拉线, 它跟三角形的一些特殊点紧密相关. 在解开欧拉线面纱之前, 让我们先来看看三角形内这些特殊的点都是什么吧.

第一个特殊点: 重心(The Centroid)

找出重心的方法就是先做出各条边上的中点, 再与相应的顶点连线 - 这就是三角形中线. 三条中线会交于一点. 我们可以拖动下面图中顶点, 尝试其他不同的三角形, 但无论怎样变化, 看起来所有的三角形的三条中线都相较于一点 G 上.  这个交点称为质量中心, 即重心.

注: AG: GE = 2:1 , 其他两条中线也是这样.

第二个特殊点: 外心(Circumcenter)

外心, 就是经过这3 个顶点的圆的圆心, 有时它会被用来解决现实中的某些问题 - 比如在三个小区中间修建一个公交站, 要求做到距离这三个小区路程相等.

当外心在三角形某条边上的时候, 该三角形是直角三角形; 当外心移到三角形外的时候, 那么就为钝角三角形了.

第三个特殊点:垂心(Orthocenter)

这次让我们来从三个顶点作垂线, 可以看到三边的高也是交于一点, 这个点就是三角形垂心, 通常用字母 H 来表示. 也可以观察下图看看是否仅仅为巧合.

可以尝试将垂心移动与任何一个顶点重合, 可以看到会变成直角三角形; 或者也可以把垂心移到三角形外试试看, 观察这时候三角形为钝角三角形, 不过怎样变化三条高还是相交于垂心一点.

欧拉线(The Euler line)

上面就是我们看到的第三个巧合了. 我们有三个不同点: 重心, 外心和垂心, 它们之间存在着非常特殊的位置关系, 观察下面的图像, 看看这 3 个点是否总是在一条直线上.

不论我们怎样调整三角形, 这三个点总是成一条直线, 这条直线, 称为"欧拉线". 
注: 莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.

此外三角形还有另外一个特殊点 -  内心, 它跟这条欧拉线上有没有什么位置关系呢?

第四个特殊点: 内心(incenter)

内心就是三角形的内切圆的圆心, 可以看到下面图形中的圆与各边相切.

那么问题来了, 内心也在欧拉线上吗? 我们可以努力进行各种尝试.

但观察到内心一般都不会在同一条直线, 除非当三角形为等腰三角形. 实际上在这个情况下, 欧拉线, 中线, 垂线, 垂直平分线重合在一起, 也与顶点 C 的平分线重合. 如果是三角形为等边三角形呢? 其实这些特殊点就完全重合在一起啦.

上面就是利用 Wolfram 语言制作的图解初中数学例子. 好了, 现在让我们在下一篇的中来看一看其他初中数学相关概念的动图.

因为本人水平有限, 疏忽错误在所难免, 所以还请各位老师和朋友不吝赐教, 多提宝贵意见, 帮助我改进这个系列. 感谢关注! Thanks!