【延长了天文学家寿命的对数函数】- 图解高中数学
指数与对数是互逆关系, 两者在数学中都是非常重要的. 从下面图形中可以看到左边为指数表达, 右边则是对数表达结构:
对数通常写为:
对数函数的结构为:
那么对数的图像在定义域内, 究竟是怎样变化呢? 请观察下面一系列取不同底数时候对数的函数图像, 注意当 a >0 时在不同范围内如何变化:
观察要点:
函数必经过点 (1,0) 处;
当 0 < a < 1 时, 函数为严格单调下降, 且随着增大, 下降速度增大;
当 a > 1 时, 函数为严格单调上升, 但随着变大, 增大速度越来越小;
指数与对数是互逆函数, 现在用动画的方式来对指数和对数来进行一个对比:
观察要点:
对称轴为 y = x ;
指数函数必经过(0,1) 点;
对数必经过(1,0)点;
现在我们回过头再来解释下为什么拉普拉斯说对数为“用缩短计算时间在实效上让天文学家的寿命延长了许多倍”.
原因就是在于当时哥白尼的"日心说"刚刚被学界接受, 天文学家为了研究星球轨道需要进行大量的乘法计算. 但是由于数字太大, 为了得到一个结果，往往需要花费很大的精力手工计算 很长的时间. 而利用对数的性质可以将乘除转为加减运算, 这个发现当时震动了整个数学界.
注: 图自中文维基
我们来看看下面一个计算的例子:
这两行数字对应的关系非常明显就是底数为 2 对应的幂, 类似这样的关系可以从《常用对数表》直接查询.
现在想要求 512 x 8192 的结果, 只需要查 512 对应的第一行为 9, 而 8192 对应 13. 然后把 9 + 13 = 22, 再去《对数表》中查 22 所对应的第二行的值, 得到结果为 4194304 .
这样将两个复杂书的乘除, 化为加减运算, 再查表得到结果, 从而达到简化计算的目的. 下面就是《常用对数表》的图片以及后来所用的对数尺: