一道入手点隐蔽又很综合的导数题目

从难度上说，光是a的取值范围，就超出了大部分地区高考压轴的难度，因此这个题目对于基础不那么好的学生要慢慢消化。

首先第一步自然要求导，

之所以要进行一步变型，就是因为高中阶段我们无法借助极限工具来解决问题，实际上显然f'(x)是单调递增函数，x趋近零时，f'(x)趋近负无穷大，x趋近正无穷大时，f'(x)趋近正无穷大，因此只要a是正实数，极值点总是存在的，但高中阶段为了拿全分不得不借助辅助函数分析：

到这里可以确定，f(x)存在极值点这个条件，对正实数a的范围没有影响，现在分析下一个已知条件：f(x)有两个零点：

到这里不少同学很可能就卡住了，得到极值点与a的关系后，好像无法推进下去，借助原函数也没有什么用，因为1/2a在(0,x0)区间内，所以f(1/2a)可以是正的，也可以是负的，这里要想到借助f'(x)，由于f'(x)是单调递增的，所以f'(1/2a)<f'(x0)=0，利用这个关系，就可以得到a的范围：

写到这里结束了吗？严格上说没有，我们没有证明当f(x)满足f(x0)<0时f(x)总是存在两个零点的，所以要补全这部分说明过程才是完整的：

注意上述过程利用了一个基本放缩e^x≥ex，此处限于篇幅没有证明，读者可自行补全。

接下来这个不等式证明比较难想，当然我还不知道标准答案是从哪个角度切入的，我试着从对称化构造和一般的放缩角度想了一下，没有得到什么进展，因此转而利用特值和均值不等式来证明了。注意到f(a^2)>0，并且由a的范围以及x0的范围可以得知0<a^2<1/2a<x0，而f(x)在(0,x0)上单调递减，且f(a^2)>f(x1)=0，因此x1>a^2，接下来利用均值不等式即可证出结论：