圆锥曲线中求轨迹方程的五种策略
(重庆市秀山高级中学校,409900)
求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为寻求动点的横坐标与纵坐标之间的关系.在求与圆锥曲线有关的轨迹方程时,要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程中的应用,只要动点满足已知曲线的定义,就可直接得出所求方程.
要注意一些轨迹问题中包含的某些隐含条件,也就是曲线上的点的坐标的取值范围,有时还要补充特殊点的坐标或特殊曲线的方程.下面，具体介绍圆锥曲线中求轨迹方程的五种策略.
一、直接法
当所求动点满足的条件简单明了时,直接按建系设点、列出条件、代入坐标、整理换件、限制说明的基本步骤求轨迹方程,称之为直接法.直接法求点的轨迹方程,在高考中有以下两个命题角度:一种是明确给出等式,求轨迹方程;另一种是给出已知条件,寻找题设中的等量关系,求轨迹方程.
例1 已知定点M(0,-2),N(0,2),P为一动点,满足
求动点P的轨迹C的方程.
解 设点P(x,y),则
于是
由
得
整理得x2=8y,即动点P的轨迹C为抛物线,其方程为x2=8y.
评注 直接法求曲线方程时,最关键的就是把几何条件或等量关系转换为代数方程,要注意转换的等价性.
二、定义法
运用解析几何中一些常用的定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程.定义法的关键是条件的转化——转化成某一轨迹的定义条件.
例2 (2016年全国高考题)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C、D两点,过点B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明:|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M、N两点,过点B且与l垂直的直线与圆A交于P、Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
解 (1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,
所以∠EBD=∠ACD=∠ADC,
所以|EB|=|ED|,|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.
又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.
由题设，得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2.由椭圆定义可得点E的轨迹方程为
(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).
由
得
(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.
故
|MN|
过点B(1,0)且与l垂直的直线
点A到直线m的距离为
所以
|PQ|
故四边形MPNQ的面积
可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为
当l与x轴垂直时,其方程为x=1,又|MN|=3,|PQ|=8,可得四边形MPNQ的面积为12.
综上,四边形MPNQ面积的取值范围为
评注 利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线.如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.
三、代入法(相关点法)
若动点满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律的运动,且动点Q(x′,y′)的轨迹为给定或容易求得,则可先将x′、y′表示为x、y的式子,再代入Q的轨迹方程,然后整理得出点P的轨迹方程,代入法也称相关点法.
例3 设直线x-y=4a与抛物线y2=4ax交于A、B两点(a为定值),C为抛物线上任意一点,求∆ABC的重心的轨迹方程.
解 设∆ABC的重心为G(x,y),顶点C(x0,y0),A(x1,y1),B(x2，y2).
由方程组
消去y并整理,得
x2-12ax+16a2=0.
由韦达定理得x1+x2=12a,所以
y1+y2=(x1-4a)+(x2-4a)
=(x1+x2)-8a=4a.
因为G(x,y)为∆ABC的重心,所以
解得
由点C(x0,y0)在抛物线上,将点C的坐标代入抛物线的方程,得
(3y-4a)2=4a(3x-12a),
即
又点C与A、B不重合,所以
所以，∆ABC的重心的轨迹方程为
其中
四、参数法
在求点的轨迹方程时,有时动点应满足的几何条件不易获得,也无明显的相关点,但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个或两个变量(如斜率、比值、截距或坐标等)的制约,即动点坐标(x，y)中的x、y分别随另外变量的变化而变化,我们称这些变量为参数,通过建立轨迹的参数方程求解,这种方法叫参数法.
例4 已知抛物线y2=4px(p>0),O为顶点,A、B为抛物线上的两动点,且满足OA⊥OB,如果OM⊥AB于M点,求点M的轨迹方程.
解 设M(x,y),直线AB的方程为
y=kx+b.
由OA⊥OB,得
由
消去y,得k2x2+(2kb-4p)x+b2=0,所以
消去x,得ky2-4py+4pb=0,所以
因为OA⊥OB,得y1y2=-x1x2,所以
即b=-4kp，故直线AB的方程为
y=kx+b=k(x-4p).
把
代入,得
x2+y2-4px=0(x≠0)，
即所求点M的轨迹方程为
x2+y2-4px=0(x≠0).
评注 本题考查参数法求轨迹方程，综合性强、计算量较大,很好地考查了推理判断能力和运算求解能力.
五、交轨法
求两动曲线的交点轨迹时,可以由方程直接消去参数.例如，求两动直线的交点时常用此法,也可引入参数来建立动曲线间的联系,然后消去参数得到所求的轨迹方程.
例5 如图1,动圆C1:x2+y2=t2(1<t<3),与椭圆
相交于A、B、C、D四点,点A1、A2分别为C2的左、右顶点.求直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程.
解 依题意，设A(x1,y1),B(x1,-y1).又A1(-3,0),A2(3,0),则直线AA1、A2B的方
程分别为
①
②
由① ②两式相乘， 得
③
由点A(x1,y1)在椭圆C2上,有
即
代入③式，得
所以直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程为
评注 此解题的关健点是把
+y1=1化成
再代入到
中，从而消去x1、y1.