2021美国TSTST

这次考试分三次进行,每次4.5小时,用于选拔参加2021第62届IMO和第10届欧女奥代表队的队员.

第一天

考试时间:2020年11月12日

1.给定正整数 . 有 只鸭子首尾相连坐成一圈. 每只鸭子都有一个物件, 其中 只鸭子的物件是石头, 只鸭子的物件是剪刀, 只鸭子的物件是布.
随后, 在每一步中, 对这些鸭子进行如下三个操作之一:
(1)若一个拿石头的鸭子正好坐在一个拿剪刀的鸭子背后, 交换它们的位置.  
(2)若一个拿剪刀的鸭子正好坐在一个拿布的鸭子背后, 交换它们的位置.
(3)若一个拿布的鸭子正好坐在一个拿石头的鸭子背后, 交换它们的位置.
对所有初始情况, 求可操作次数的最大值.(用 表示)

2.如图, 内心为. 内切圆与三边分别切于点.
过作于. 射线分别与外接圆交于点为线段中点.
证明: 为内心.

3.对一个非退化的三角形, 若其三个角 满足, 存在整数 , 使得 , 就称这个三角形是离奇的. 求所有的整数, 使得存在一个离奇的三角形, 其三边长分别为 .

第二天

考试时间:2020年12月10日

4.求所有的正整数对,使得 整除, 整除,且.

5.设表示二元有序正整数对. 若 的子集 满足,对任意,那么对任意满足的整数对, 均有.就称是稳定的.求证: 对任意稳定的集合, 其所有稳定的子集(包括空集和它自己)中,元素个数为偶数的集合至少占一半.

6.设 , , , 为平面上四个点, 其中任意三点不共线, 且不为垂心.设分别为 , , 垂心. 若直线, , 互不相同且交于一点, 证明:, , , 共圆.

第三天

考试时间:2021年1月21日

7.求所有非常数复系数多项式, 使得 与 的所有复根的模均为1.

8.对任意正整数 设 表示的所有正因数之和. 求所有正整数 ，使得

9.在空间中, 午夜时分有一千万只萤火虫出没. 其中一些萤火虫之间有朋友关系, 且朋友关系都是相互的. 在每一秒钟, 某只萤火虫飞到了一个新位置, 使得它变换位置前后和所有朋友之间的距离不变. 这是萤火虫们更改位置的唯一方式,且两只任意萤火虫的位置始终不重叠.

初始时, 任意两只萤火虫(无论他们是否为朋友)的距离都不超过1米. 经过有限的一段时间之后, 所有萤火虫发现, 他们与自己的初始位置的距离都不小于1千万米.

根据以上信息, 求萤火虫之间的朋友关系个数的最大值.

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。