大数学家陈省身漫谈：什么是几何学
本文是陈省身教授1999年在复旦大学的演讲，经整理发表
本文是陈省身1999年9月24日在复旦大学求实基金会科学奖的颁奖仪式上所作的学术报告，这是复旦大学杨武之讲座的第一讲。原载于《陈省身文集》，张奠宙、王善平编，华东师范大学出版社，2002年。
演讲 | 陈省身
我的演讲题目是《什么是几何学》。我虽然搞了几十年的几何工作，但是很抱歉的一点是，当你们听完演讲后，不会得到很简单的答案，因为这是一门广泛而伟大的学问。最近几十年来，几何学有非常重要的发展，跟许多其它的科学不但有关系、有作用，而且是基本的因素。
讲到几何学，我们第一个想到的是欧几里得。在世界出版物中，除了基督教的《圣经》之外，欧几里德的《几何原本》大概是销售最多的一本书了。这本书在中国有翻译，译者是徐光启与利玛窦。
利玛窦与徐光启
徐光启（1562-1633）是中国了不得的学问家，利玛窦（M. Ricci）是到中国来的意大利传教士。他们只翻译了六章，中文本是在1607年出版的。我们现在通用的许多名词——例如平行线、三角形、圆周等这类名词，我想都是徐光启翻译的。当时没有把全书翻译完，差不多只翻译了半本，另外还有半本是李善兰和伟烈亚力翻译的。伟烈亚力（A.Wylie）是英国传教士。很高兴的是，李善兰是浙江海宁人。
海宁是嘉兴府的一县，我是嘉兴人，所以我们是同乡。对了，查济民（注：香港求是科技基金会1994年由著名实业家査济民先生创立）先生也是海宁人。
推动几何学第二个重要的、历史性发展的人是Descarte（1596-1650），中国人翻译成为笛卡儿。他是法国哲学家，不是专门研究数学的。他用坐标的方法，把几何变成了代数。当时没有分析或者无穷的观念。所以他就变成代数。我想笛卡儿当时不见得觉得他这贡献是很伟大的，所以他的几何论文是他的哲学引里面最后的一个附录，附属于他的哲学的。
这个思想当然在几何上是革命性的，因为当把几何的现象用坐标表示出来时，就变成了代数现象。所以你要证明说一条直线是不是经过一个点，你只要证明某个数是不是等于零就行了。这样就变成了一个简单一点的代数问题。当然并不是所有的几何问题都要变成代数问题，有时候变为代数问题后，反而比原来的问题更加复杂了。但这个关系是基本性的。
笛卡尔 （他的一句名言是：我思，故我在）
笛卡儿发现的坐标系，我们大慨在中学念解析几何都学到。有一点是这样的（我的图可惜现在没法投影出来）给定一条直线，直线上有一个原点，其它的点由它的距离x来确定，然后经过x沿一定的方向画一条直线，那么y坐标就是在那条在线从x轴上这个点所经的距离，这就是笛卡儿的坐标，英文叫Cartesian坐标。它的两条线不一定垂直。
不知道哪位先生写教科书时把两条线写成垂直了，因此x坐标与y坐标对称了。笛卡儿的两个坐标不是对称的，这是他非常重要的观念，我们现在就叫纤维丛。
这些跟y轴平行的直线都是1纤维，是另外的一个空间。原因是这样的：你把它这样改了之后，那条直线就不一定要直线，可以是任何另外一个空间了。这样可以确定空间里点用另外一组坐标来表示。所以有时候科学或数学不一定完全进步了，有时候反而退步了。
笛卡儿用了这个坐标，就发现，我们不一定要用Cartesian坐标，可以用其它坐标，比如极坐标。平面上确定一个点，称为原点，过这点画一条射线，称为极轴。这样平面上的点，一个坐标是这点与原点的距离，另外一个是角度，是这点与原点的联线与极轴的相交的角度，这就是极坐标。因此极坐标的两个坐标，一个是正数或零，另外一个是从零到360度的角度。当然我们都知道，还可以有许多其它的坐标，只要用数就可以确定坐标。
因此，后来大家弄多了的话，就对几何作出了另外一个革命性的贡献，就是说，坐标不一定要有意义。只要每组数能定义一个点，我们就把它叫坐标（例如，在地球上每一点有经度和纬度）。从而几何性质就变成坐标的一个代数性质，或者说分析的性质。这样就把几何代数化了，几何就变成形式化的东西了。
这个影响非常之大，当然这个影响也不大容易被接受，比如爱因斯坦。爱因斯坦发现他的相对论，特殊相对论是在1908年，而广义相对论是在1915年，前后差了7年。爱因斯坦说，为什么需要7年之久我才能从特殊相对论过渡到广义相对论呢？他说：“因为我觉得坐标都应该有几何或物理意义。”爱因斯坦是一个对学问非常严谨的人，他觉得没有意义的坐标不大容易被接受，所以耽误了很多年以后，他才不得不接受，就是因为空间的概念被推广了。
抱歉，我忘掉了一段。我现在是讲书（编者注：陈先生在开玩笑，他的意思是自己在“说书”），讲书忘掉了补充一下是无所谓的，讲错了也不要紧（笑声）。同样我回头再讲一点欧几里得。
那时的欧几里得的《几何原本》并不仅仅是几何，而是整个数学。因为那时候的数学还没有发现微积分，无穷的观念虽然已经有了，不过不怎么普遍。我再说一点，就很可惜的是，欧几里得的身世我们知道得很少，只知道他大概生活在纪元前三百年左右。他是亚历山大学校的几何教授，他的《几何原本》大概是当时的一个课本。
亚历山大大学是希腊文化最后集中的一个地方。因为亚历山大自己到过亚历山大，因此就建立了当时北非的大城，靠在地中海。但是他远在到亚洲之后，我们知道他很快就死了。之后，他的大将托勒密管理当时的埃及区域。托勒密很重视学问，就成立了一个大学。这个大学就在他的王宫旁边，是当时全世界伟大的大学，设备非常好，有许多书。很可惜，由于宗教的原因，由于众多的原因，现在这个学校被完全毁掉了。当时的基督教就不喜欢这个学校，已经开始毁坏了，然后回教人占领了北非之后，就大规地破坏，把图书馆的书都拿出来烧掉。所以现在这个学校完全不存在了。
几何是很重要的，因为大家觉得几何就是数学。比方说，现在还有这一印象，法国的科学院，它的数学组叫做几何组。对于法国来讲，搞数学的不称数学家，而叫几何学家，这都是受当时几何的影响。当时的几何比现在的几何的范围来得广。不过从另一方面讲，现在的范围更广了，就是我刚才讲到的，坐标不一定有意义。一个空间可以有好几种坐标，那么怎样描述空间呢？这就显得很困难，因为空间到底有什么样的几何性质，这也是一个大问题。高斯与黎曼建立和发展了这方面的理论。
高斯
高斯是德国人，我想他是近代数学最伟大的一个数学家。黎曼实际上是他的继承人，也是德国数学家。他们都是哥廷根大学的教授。可惜的是，黎曼活着时身体不好，有肺结核病，四十岁就死了。他们的发展有一个主要目的，就是要发展一个空间，它的坐标是局部的。空间里只有坐标，反正你不能讲坐标是什么，只知道坐标代表一个点，所以只是一小块里的点可以用坐标表示。因此虽然点的性质可以用解析关系来表示，但是如何研究空间这就成了大问题。
在这个之前，我刚才又忘了一个，就是基础的数学是欧几里得的书，但是欧几里得的书出了一个毛病。因为欧几里得用公理经过逻辑的手段得到结论。例如说，三角形三角之和一定等于180度，这是了不得的结果。欧几里得可以用公理几步就把它证明了，是一个结论。这个比现代的科学简单得多了。
我们刚才听了很多话，科学家做科学研究，第一样就是跟政府要钱，跟社会要钱，说你给了我钱，我才能做实验。当然，实验是科学的基础。但是这样一来就会有许多的社会问题和政治问题。欧几里得说，你给我一张纸，我只要写几下，就证明了这个结果。不但如此，我是搞数学的，我说数学理论还有优点，数学的理论可以预测实验的结果。不用实验，用数学可以得到结论，然后用实验去证明。当然实验有时的证明不对，也许你的理论就不对了，那当然也有这个毛病。
欧几里得的公理是非常明显的，但是他有一个叫第五公设的有名公理出了问题。这个第五公设讲起来比较长，但是简单地说，就是有一条直线与线外一点，经过这点只有一条直线与这条已给的直线平行。这个你要随便画图的话，觉得相当可信。可是你要严格追问的话，这个公理不大明显，至少不如其它公理这样明显。所以，对当时数学界喜欢思考的人来说，这个第五公设是个大问题。当时最理想的情形是：第五公设可以用其它的公理推出来，这就变成一个定理。那就简单化了，并且可做这个实验。我们搞数学的人有一个简单的方法，即反证法，就是我要证明这个定理，我先假定这个定理不对，看是不是可以得到矛盾。如果得到矛盾，就证明它是对的了。有人就想用这个方法证明第五公设，但是都失败了。我们现在知道，这个第五公设并不一定对，经过一点的并行线可以有无数条，这就是非欧几何的发现。
非欧几何的发现，它的社会意义很大，因为它表示空间不一定只有一个。西洋的社会相信上帝只有一个，怎么会有两个空间，或者很多个空间呢？当时这是个很严重的社会问题。不止是社会问题，同时也是哲学问题。像德国大哲学家康德，他就觉得只能有欧氏几何，不能有非欧几何。所以当时这是一个很大的争论。
非欧几何的发现者，一个是J.Bolyai，匈牙利人，在1832年；一个是Lobachevski，俄国人，在1847年。不过我刚才讲到大数学家高斯，我们从他的种种著作中知道，他完全清楚，但他没有把它发表成一个结论，因为发表这样一个结论，是会遭到别人反对的。因此就有这么一个争论。后来到了1868年，意大利的几何学家Beltrami，他在欧几里得的三维空间里造了一个曲面（称为伪球面，pseudosphere），这个曲面上的几何就是非欧几何，这对于消除大家的怀疑是一很有利的工具。因为上述结果是说，假定有一个三维的欧几里得空间，就可以造出一个非欧几何的空间来，所以在欧几里得的几何中亦有非欧几何。你假定欧几里得几何，你就得接受非欧几何，因此大家对非欧几何的怀疑有种种的方法慢慢给予解除。
我刚才讲到高斯与黎曼把坐标一般化，使坐标不一定有意义，这对几何学产生的问题可大了。因为空间就变成一块一块拼起来的东西。那想怎么去研究它呢？怎么知道空间有不同的性质呢？甚至怎么区别不同的空间？我这里有几张图，画了几个不同的空间，可惜我没法把它投影出来（编者注：以下我们选取了几个有代表性的曲面）。不过，总而言之，空间的个数是无穷的，有很多很多不同的空间。
托里拆利小号（由双曲线 y=1/x 的一支沿着坐标轴旋转生成）
由 x = 2 + cos z 旋转生成的曲面
欧拉1744年发现的悬链面
现在对于研究几何的人就产生一个基本问题：你怎样去研究它。这样一个基本的学问现在就叫topology，拓朴学。它是研究整个空间的性质，如什么叫空间的连续性，怎样的两个空间在某个意义上是相同的，等等。这样就发展了许多许多的工具。这个问题（等价问题）黎曼也讨论了。
黎曼生活在1826-1866年。德国的教学制度在博士毕业之后，为了有资格在大学教书，一定要做一个公开演讲，这个公开的演讲就是所谓Habilitationschrift。
黎曼在1854年到哥廷根大学去做教授，做了一个演讲，这个在几何上是非常基本的文献，就讨论了这些问题。如何研究这种空间呢？要研究这种空间，如果你只知道空间是随便追磨一块块拼起来的话，就没有什么可以研究的了。于是你往往需要一个度量，至少你知道什么叫两点之间的距离，你怎应去处理它呢？就需要解析的工具。往往你把距离表为一个积分，用积分代表距离。黎曼1854年的这篇论文，是非常重要的，也是几何里的一个基本文献，相当一个国家的宪法似的。爱因斯坦不知道这篇论文，花了七年的时间想方设法也要发展同样的观念，所以爱因斯坦浪费了许多时间。黎曼这篇论文引进的距离这个观念，是一个积分，在数学界一百多年来有了很大的发展。
第一个重要的发展，是黎曼几何应用到广义相对论，是相对论的一个基本的数学基础。现在大家要念数学，尤其要念几何学的话，黎曼几何是一个最主要的部分，这个也是从黎曼的演讲开始的。现在黎曼几何的结果多得不得了，不但是几何的基础，可能也是整个数学发展的基础。
我刚才提到一百多年来的发展。所谓的黎曼几何，实际上是黎曼的论文的一个简单的情形，是某个特殊情形。黎曼原来的意思，广义下的意思，有个人做了重要的工作，是一个德国人，名叫芬斯勒（Finsler）。所以这部分的几何就叫芬斯勒几何。他在1918年在哥廷根大学写了一篇博士论文，就讲这个几何。
这个几何后来发展不大多，因为大家不知道怎么办。如果这个度量的积分广了一点，对应的数学就变复杂了，不像黎曼的特殊情形这样简单。黎曼这情形也不简单。黎曼普通地就写了一个ds的平方等于一个两次微式，这个ds积分一下就代表弧的长度。怎样研究这样的几何，这是需要一个像黎曼这种天才，才有办法。黎曼就发展了所谓的黎曼曲率张量。你若要搞这类几何的话，就要有张量的观念。而空间的弯曲性，这个弯曲性解析表示出来也比较复杂了，就是黎曼的曲率张量。
我们现在大家喜欢讲得奖。我们今天发奖，有奖金，要社会与政府对你的工作尊重。当年的时候你要搞数学的话，如果没有数学教授的位置，就没有人付你工资。一个主要的办法就是得奖金。有几个科学院它给奖金，得了奖金后你当然可以维持一段时间，因此就很高兴。不过很有意思的是，我想Riemann-Christoffel曲率张量是一个很伟大的发现，黎曼就到法兰西科学院申请奖金。科学院的人看不懂，就没有给他。所以诸位，今天坐在前排几位你们都是得奖人，都是得到光荣的人，我们对于你们寄予很大的期望；后面几排的大多数人没有得过奖，不过我安慰大家，没得过奖不要紧，没得过奖也可以做工作。我想我在得到学位之前，也没有得过奖。得不得到奖不是一个很重要的因素，黎曼就没有得到奖。他的Riemann-Christoffel张量在法兰西的科学院申请奖没有得到。
最近虽然在黎曼几何上有很多发展，非常了不得的发展，但是大家对于一般的情形，黎曼论文的一般情形，即芬斯勒几何，没有做很多贡献。很巧的是，我在1942年曾写了一篇芬斯勒几何的论文，就是找能把黎曼几何的结果做到芬斯勒几何的情形。最近，有两位年轻的中国人，一个叫鲍大维，一个叫沈忠民，我们合写了一本关于芬斯勒几何的书。这本书就要在Springer Verlag出版，属于它的研究生数学教材（GTM）丛书。编辑对于我们的书也很喜欢，给了我们一个很有意思的书号：200。
书就在这里，我想这本书等会我会交给谷超豪教授，就把它放在复旦大学的某个图书馆里。我们这本书有一个小小的成就，就是把近一百年来最近在黎曼几何上的发现，我们把它推广到一般的情形，即黎曼-芬斯勒情形。这是黎曼当年的目的。黎曼当然非常伟大，不过他对于一般的情形不是很重视，他甚至在他的文章里讲这里没有新的东西，我们就把他说的没有的新东西做了一些出来。
我知道我旁边坐了两位伟大的物理学家（编者按：可能指杨振宁先生与复旦大学校长杨福家教授）。接下去我想班门弄斧一下，谈一下物理与几何的关系。
我觉得物理学里有很多重要的工作，是物理学家要证明说物理就是几何。比方说，你从牛顿的第二运动定律开始。牛顿的第二定律说，F=ma，F是力，m是质量，a是加速度，加速度我们现在叫曲率。所以右边这一项是几何量，而力得当然是物理量。所以牛顿费了半天劲，他只是说物理就是几何。
不但如此，爱因斯坦的广义相对论也是这样。爱因斯坦的广义相对论的方程说
你仔细想想，他的左边是几何量，是从黎曼度量得出来的一些曲率。所以爱因斯坦的重要方程式也就是说，几何量等于物理量。
不止是这些，我们可以一直讲下去。我们现在研究的空间叫流形，是一块块空间拼起来的。这个流形不好研究。流形上的度量，你如果要把它能够用方程写下来的话，你一定要把流形线性化，一定要有一个所谓的矢量空间，叫切空间。矢量空间有一个好处，它的矢量可以相加，可以相减，它还有种种不同的乘法。所以你就可以用解析的方法处理几何的情形。那么一般的流形怎么处理呢？数学家的办法很简单，就是在流形的每一点弄一个切平面。每一点都有个矢量空间，叫切空间，跟它相切，欧几里得空间只有一个切空间。
现在的空间情况复杂了一些，每点都有一个切空间，但都是平坦空间。这个现象在几何上有一个重大的发展，就是把切空间竖起来。反正是一把矢量空间，给流形的每点一个矢量空间，不一定要是流形的切平面或切空间。我们就叫它为纤维丛，或叫矢量丛，矢量空间丛。这个我想比爱因斯坦的（相对论）还要重要。
麦克斯韦方程就是建立在一个矢量丛上。你不是要一把矢量空间吗？最好的是一把筷子，这里一维最好是复一维。这把筷子每个都是复空间，它是骗人的一维，其实是二维，是复数空间。有复数就好玩了。现在是一把复线，你如果能有法子从这个纤维到另外一个纤维有一个我们所谓的平行性的话，你就立刻得到麦克斯韦方程。
现代文明都靠电，控制电的方程的是麦克斯韦方程。现在纤维丛上有一个平行性，这个平行性的微分，等于电磁场的强度F，然后你把这个F再求它的另外一种微分（余微分）的话，就得到流矢量J。用两个简单的式子，就把麦克斯韦方程写出来了。普通你要念电磁学的书的话，当然需要了解电磁的意义，对此我不了解。但是要了解电磁学的意义，把方程全部写出来的话，书上往往是一整页，种种的微分呀什么的，讲了一大堆。其实简单地说，也就是平行性的微分是场的强度，而场的强度经过某个运算就得到它的流矢量。这就是麦克斯韦方程，与原来的完全一样。所以麦克斯韦方程就是建立在一维的纤维丛上，不过是一个复一维的纤维丛。你怎样把每个纤维拼起来呢？我们需要群的观念。
有一个群，群里有一个运算，把一个纤维可以挪到另一个纤维。纤维如果是一维的，即使是复一维的话，我们需要的群仍旧是可交换的群。杨振宁先生了不得。他可以用到一个不必交换的群，也很简单，我们叫做SU(2)群。用SU(2)联络，把同样的方程式写出来，就是杨振宁-米尔斯方程：
这有不得了的重要性。
我们搞几何学的人觉得有这样的关系，物理学家说你这个关系跟物理有关系，并且有基本的重要性，这是非常困难的。比方说像去年获诺贝尔奖的，我想大家都知道崔琦的名字，做理论方面的所谓霍尔效应，也用到我们这些工作。我们说我们专搞曲率。你要开一个车，路如果弯得多了的话你就要慢下来，直的话你就冲，这就是曲率。曲率要是在高维就比较复杂了，不过也是一些代数，并且可以做得很巧妙。我的一个朋友，也是学生，叫赛蒙斯。我们所做的工作就是曲率，就对崔琦跟他们一群得诺贝尔奖的有好处。所以一般讲来，在房子里我们只管扫地，想把房子弄弄干净，弄弄清楚，然后有伟大的物理学家来说，你们这个还有道理，这个我们也很高兴。
现在几何不仅应用到物理，也应用到生物学中。讲到DNA的构造，是一个双螺线，双螺线有很多几何，许多几何学家都在研究这个问题。现在许多主要的大学，念生物的人一定要念几何。现在有很多人研究大一点的复合物，这是分子，是由原子配起来的。原子怎么个配法就是几何了。这些几何的观念不再是空虚的，有实际上的化学的意义。
数学比其它科学有利的地方，是它基本上还是个人的工作。即使在僻远的地方，进步也是可能的。当然搞数学需要几个朋友，得切磋之益。