圆中的最值问题（4）

垂线段最短

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。（简称垂线段最短）

三角形的任意两边之和大于第三边

AB+BC>AC

AB+AC>BC

AC+BC>AB

上面这个结论是由“两点之间，线段最短”而得到．

引入正题

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，经过点C且与边AB相切的动圆O与CA、CB分别相交于点M、N，则MN的最小值为_________．

下面的动态图，给你有启发吗？

根据上面的提示仔细思考一下吧 。。。

分析

简略解答

设⊙O与AB切于D，连结OD、OC、CD

∴OD⊥AB．

∵∠ACB=90°，

∴MN是⊙O的直径．

（1）当O、C、D三点不共线时，在△OCD中，

         OC+OD>CD，

而MN=OC+OD，

∴MN>CD．（注意，这时CD不是垂线段！）

（2）当O、C、D三点共线时，

         OC+OD=CD，则MN=CD，

由上可知MN≥CD

∴MN的最小值是CD，此时CD为点C到AB的垂线段，

即Rt△ABC斜边AB上的高CH．

由S△ABC=1/2·AC·BC=1/2·AB·CH可得：

AC·BC=AB·CH，

∴CH=AC·BC/AB=3×4/5=2.4

∴MN的最小值为2.4.