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19．（2018·巨野县一模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝m/x（x＞0）的图象交于点P（4，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B．（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、菱形的判定和性质等知识．在（1）中求得P点坐标是解题的关键，在（2）中注意利用平行线分线段成比例是解题的关键，在（3）中确定出D点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．【分析】（1）利用待定系数法可求得一次函数和反比例函数的解析式；（2）由平行线分线段成比例可求得AC＝PC，可先求得C点坐标，过C作CD∥x轴，交PB于点E，交反比例函数图象于点D，可求得此时D点坐标，可证得四边形BCPD为菱形．把A、P两点坐标代入一次函数解析式可得0=-4k+b；2=4k+b，解得k=1/4；b=1，如图，过点C作CD∥x轴，交PB于点E，交反比例函数图象于点D，分别连接PD、BD，
∴PB与CD互相垂直平分，即四边形BCPD为菱形，
如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝k/x（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝3，OC＝5，动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝3/10S矩形OABC．（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
【点评】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、勾股定理、两点间的距离、菱形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用三角形的面积与矩形面积间的关系，求出点P的纵坐标；（2）利用两点之间线段最短，找出点P的位置；（3）分点Q在点P的上方及点Q在点P的下方两种情况，求出点Q的坐标．【分析】（1）由矩形的性质可得出点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，进而可得出反比例函数解析式，由S△PAO＝3/10S矩形OABC可求出点P的纵坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；（2）作点O关于直线y＝3的对称点O′，连接AO′交直线y＝3于点P，利用两点之间线段最短可得出此时PO+PA取得最小值，由点O的坐标可求出点O′的坐标，再利用勾股定理即可求出PO+PA的最小值；（3）由线段AB的长及点P的纵坐标可得出AB只能为边，分点Q在点P的上方及点Q在点P的下方两种情况考虑：①当点Q在点P的上方时，由AP＝AB＝5可求出m的值，进而可得出点P1，P2的坐标，结合PQ＝AB＝5可得出点Q1，Q2的坐标；②当点Q在点P的下方时，由BP＝AB＝5可求出m的值，进而可得出点P3，P4的坐标，结合PQ＝AB＝5可得出点Q3，Q4的坐标．综上，此题得解．【解答】解：（1）由题意，可知：点B的坐标为（3，5）．∵点B在反比例函数y＝k/x（k≠0）的第一象限内的图象上，∴当点P在这个反比例函数的图象上时，点P的坐标为（5，3）．（2）由（1）可知：点P在直线y＝3上，作点O关于直线y＝3的对称点O′，连接AO′交直线y＝3于点P，此时PO+PA取得最小值，如图1所示．①当点Q在点P的上方时，AP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣0）2＝25，∴点P1的坐标为（﹣1，3），点P2的坐标为（7，3）．∴点Q1的坐标为（﹣1，8），点Q2的坐标为（7，8）；②当点Q在点P的下方时，BP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣5）2＝25，同理，可得出：点Q3的坐标为（3﹣√21，﹣2），点Q4的坐标为（3+√21，﹣2）．综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点Q的坐标为（﹣1，8），（7，8），（3﹣√21，﹣2）或（3+√21，﹣2）．
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