初中数学难点之六:三角形全等知识点汇总
三角形全等是解决很多问题的基础,也是初中数学的重点之一,难点之一。
1、 图形全等及三角形全等
1. 图形全等
两个图形能够完全重合
2. 三角形全等
(1) 全等三角形
两个三角形能够完全重合,叫做三角形全等,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应的边,重合的角叫做对应角。
(2) 全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等,对应角相等。
2、 全等三角形的判定
1. 三边分别相等的两个三角形全等(SSS)
三个边下分别相等,能够完全重合
2. 两边和他们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS)
当三角形的夹角A和两边的长度AB、AC确定时,BC边也就唯一了,三角形就确定了,因此这样的两个三角形全等
3. 两角和他们的夹边分别相等的两个三角形全等(ASA)
当BC长度一定,∠B和∠C确定时,BA和CA的交点A必然唯一,三角形ABC确定,所以两个同样的三角形全等。
4. 两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等(AAS)
5. 直角三角形一条直角边和斜边分别相等两个直角三角形全等(HL)
假设两个直角三角形AB=DE、 BC=EF
根据勾股定理有:
AB2=BC2+AC2
DE2=EF2+DF2
所以:AC=DF
又因为:∠F=∠C=90º、EF=BC 、AC=DF
根据三角形判定定理SAS有两个三角形全等
3、 与三角形高有关的结论
1. 与高有关的第一个问题
三角形的两条高分别交于边AB和AC于D和E点
(1) 三角形相似结论
ΔABE ∽ΔACD, ΔDFB ∽ΔEFC
(2) D、B、C、E四点共圆结论
证明方法,可参看圆有关部分知识。
2. 与高有关的第二个问题
如图,a//b
两个底边相等、高相等的两个三角形面积相等
4、 三角形的角平分线有关的结论
1. 第一个问题
2. 第二个问题
5、 与三角形中线有关的结论
1. 第一个问题
AD是BC边的中线,可得出SΔABD=SΔADC
2. 第二个问题
CD是直角三角形ACB斜边AB的中线,得出AD=DB=CD
证明:过D点做BC的平行线与AC交于E点
因为:CD为AB的中线
所以:CD=BD
因为DE//BC
所以:DE是三角形的中位线,,且DE⊥AC
所以:AE=EC
ΔDEA ≌ΔDEC
所以有CD=AD=DB
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