抛砖引玉：中学数学教材框架性设计
王永晖
首都师范大学数学系教授
我先罗列这个框架结构，然后再简述其中的道理和想法，按照学年递增顺序为：
A1. 代数与证明 知识范围包括运算律及其应用（证明篇+算法篇），传统初中内容中的，譬如，整式，根式，分式，及其背后所蕴含的因式分解技术。 这些内容，不依赖于后面的几何直觉与解析几何工具。
A2. 几何与证明 知识范围包含传统的平面几何，同时采用穿插式的方法，包容住那些本质上仍然是平面几何方法的立体几何。作业题中，也可以包含现在小学奥数题，美国AMC8，新加坡小升初数学试卷中常见的，用几何来考代数的题目。
A3. 解析几何1+X, 即以解析几何为主线，来贯穿的初等数学知识：一元二次函数与方程，函数的性质，各种初等函数及其性质，包括三角函数。
A4. 组合数学1+X, 传统的中学组合数学与概率统计，同时可以涵纳一元多项式理论，初等数论，尤其是针对精英级学生。
这些基本上应该就能覆盖住中学数学范围了。我其实对中学数学教学不熟，并没有系统性的教过，很多细节不掌握，这里的框架性设计，如果有不当之处，欢迎讨论，大家共同谋思。
我来解释一下这个框架背后的想法。总共相当于是4本书，一个学年一本书，每本书的编排，采用的是我这篇文章中的想法：
大概意思是，特别灵活特别方便学生跳级，而且是真正的跳级，只有作业题做完，才允许跳级。学生学完了这4本书之后，如果在中学六年时间中，还剩下时间，那自然就可以学习微积分和线性代数了。
A1. 代数与证明
知识范围包括运算律及其应用（证明篇+算法篇），传统初中内容中的，譬如，整式，根式，分式，及其背后所蕴含的因式分解技术。 这些内容，不依赖于后面的几何直觉与解析几何工具。也就是说，初中代数中那些不依赖几何的部分（不管是知识基础上，还是思维直觉上），都放在此处。
这里面最难的是因式分解，所以这个范围之内的教学，确实是需要一个学年来完成的。因式分解方面，我们严重推荐刘尼的书，
很优秀的初中数学读本 电子版下载 三S平面几何学 刘尼的代数系列
我们知道刘尼的书，还是在单墫的同名书的序言中知道的。相比之下，单墫的书，就不太适合阅读，更像是奥数技巧的汇编与心得报告，不适合很多同学。我有一位硕士生，智商已经很高了，当年初一自学单墫的《因式分解》，结果把他给学糊涂了，数学上反而后来没有大进步，对于聪明学生都已经是这样，更何况那些普通学生了，还是看看刘尼的书作为入门吧。
就我所见，很多人学不好数学，就是败在初中数学因式分解这一关上，因式分解没学好，直接影响中学数学能力和大学数学学习能力，后面就全学不好了。
运算律及其应用（证明篇+算法篇）是我们小教室开创的教学内容，我认为仍然是在数学教学主干线上的，可以根据学生情况，分别放入其个性化教学方案之中。虽然有一位我非常尊敬的国内优秀数学家，反对我这个做法。但是，经过我很长时间的反思之后，还是觉得把注重数学的推理严谨性，教授给一部分资优学生，仍然是非常正确的。
数学的驱动力，不仅仅是在于发现，在于探索，也在于发现之后的严谨性追求，追求数学的严谨性也是探索过程中的重要一部分。
这位优秀数学家非常尊敬的大数学家
为什么研究代数几何 ——读扎里斯基的传记《The Unreal Life of Oscar Zariski》
里面谈到的追求严谨性，实际上，也是数学家的整体性格，有这样性格的人就适合去做数学家。
中国人在这方面缺的，也确实比较多，不仅仅是数学家需要这种性格，其他各行业的人士，也需要类似的训练，可当作一种社会文化的熏陶，以对我们博大精深的传统文化做补充。
那位优秀数学家，我知道他自己本来就是非常严谨，已经有这个能力了，所以觉得不需要练这个，甚至有点儿把严谨性跟创造性、想象力，对立起来了。
我们数学教育，目标肯定不是只去培养数学家，而是去培养各个领域的顶级人才，跟数学关系特别大，特别近的，有物理学，计算机科学，有越来越多的自然科学与工程技术，用到了越来越深入的数学。
这些领域的博士级人才，在他们小时候，就开始接触到数学的严谨性思维，就接触到数学推理带来的神奇视野，在他们的成长历程中是非常必要的，重要的！
我自己还是坚持这样的观点，我们国家的科技工程领域，缺少世界层面的大师级人物，其中一个重要原因是，他们中学阶段缺这些思维训练，从而导致他们进入博士层面之后，上不了那个台阶。我们看看世界上各个学科的建立，都是那个学科的宗师，开创了其数学工具与架构。
初中数学，相比于其他科学，物理化学之类，需要的预备知识少，材料很简单，要么就是数及其代数字母，要么就是平面几何中的三角形，四边形，圆。这些就相当于孩子们小时候的玩具，不能真实地反应出世界来，但足够孩子玩了。
对于我们人类中的相当一部分初中生，当他们进入初中阶段时，用这些玩具级数学材料，让他们开始养成数学级别的严谨性，真正练出来，我觉得是很有必要的。
我博文中曾经提到过，我这里再提一下。数学的思想，数学的追求，其实归结为语言，可能也就那么几条，可能一个下午两三个小时就能讲完，但是具体到一个人，一个学生，真正练到自己身上，达到融会贯通，那是需要好几年的训练。
我现在正在带的首师大数学系师范班本科生，跟了我已经有一年半了，想必有深深的体会。他们现在要练的，其实跟那些资优学生要在初中练的数学思维，数学思想，并无真正的区别，唯一遗憾的是，他们年纪已经到了大学。
希望他们将来当中小学老师之后，他们的学生，能够享受到更好一点儿的数学教育。
A2. 几何与证明
我们把代数与证明，放到几何与证明之前，是因为，那些A1代数知识，可以更好地跟小学数学接轨，另外，运算律及相关的逻辑推理证明，也为学生进入A2阶段，做了相当的准备。
这也是我们小教室教学，曾经走过的路。我认为是非常必要的，缺少A1, 学生直接进入平面几何的证明，还是不够自然的。
实际上，美国的《三S平面几何》教材，在预备章节，就罗列了运算律与恒等式，作为学生的假定已知知识，这个传统，应该来源于几何原本了吧。
现在讲平面几何及其证明，注重公理化的证明思路和教学方式，就以为一定会把书写的很难，其实这种认识是非常粗浅表面的。
当今数学教育界，有一股汹涌的潮流，认为数学教育，不应该是数学家领导的数学教育，为什么呢？因为数学教育不是专门用来培养数学家的。
我在A1部分，已经说明了，我们数学教育保持数学家品味，对于各个领域的顶级科学家的培养，绝对是至关重要的。
相反，如果强调数学教育不能是数学家领导的教育，那么数学教育只能掌控在数学教育家手里，中小学数学老师手里，他们从小长到大，都在教育圈里封闭生长，也不像数学家那样，见过顶级的人才和顶级的学问。
这种封闭性是要不得的。我们真正需要的是，强调数学家领导数学教育，或者至少为数学教育把关的同时，一定要打破封闭性，要向各个领域的科学家们请教，请他们也来把关，告诉数学教育应该做到什么程度，中学毕业时，要达到什么程度，本科毕业时，要达到什么程度。
这是一份很强的联络工作！
有很多人想当然的认为，由数学家来写数学教材的话，一定会把书写的很难。这也可能在过去曾经发生过，但也并不一定就总是这样。譬如Gelfand为中学数学写的系列读本，难度就不高，但是很有趣，很值得学生们反复读，反复琢磨。
那么，如果由数学家来编写平面几何教材的话，注重平面几何的公理化特色，即这个学科创立之时就开始发源的公理化思想的话，很多普通人可能不清楚，这其实也是人类现代科技思维产生的源头，这样的教材，并不意味着难。
真正难的，是习题，是技巧性偏高的奥数级题目。如果平面几何教材，追求的是把公理化思想讲清楚，用我们的寻龙探脉式教学法，至少课堂上的内容，是一点不难的。
3S平面几何讨论课最后一次正式活动教学记录（20170616）
至于课下习题，学生们想做到什么程度，就丰俭由人了。
这里，再说一个教学安排，就是把立体几何的很多内容，作为穿插式安排，放入平面几何教材中，这样就可以节省课时，让一个学年就可以包容。
这种做法，已经有美国数学教材使用，相当于放到相应章节的习题之中，实际上用到的是平面几何中的定理，在三维中进行转化就行了。当然，也仍然存在一部分内容，需要放在后面专门讲，从而把公理化思维方式再深化加透。
A3. 解析几何1+X
很多中国人，会以为美国的数学教育不行。但如果美国的数学教育，真的非常不行的话，怎么会有那么多很好的教材呢，我们小教室的教学，在国内找不到合适的教材时，除了刘尼那一系列，其他教材都是使用的英文版。
说明，美国数学教育，肯定还是有行的地方的。不行的地方肯定也有，要综合的看：
解析几何，实际上贯穿在中学数学很多内容之中，所以，A3阶段强调的是这一点。我曾经拿到过美国夏威夷州初中公立学校统一使用的州编教材。虽然说内容和习题简单，但我觉得，它的框架真的挺好的，因为它就是这个观点，是一上来就是用解析几何的观点，来贯穿初中代数部分，即除了A1部分的其他初中代数。
反观我们的国内教材，把一元二次方程和一元二次函数割裂开讲，不在一个学期/学年，那必然就把这种解析几何的味道大大减弱了。
-----其中大概说到-------
国内大学数学系的解析几何，在国外数学系是没有这门课程的，我自己的印象也记得，上大学的时候，感觉解析几何课程，跟中学差不多，没学到多少新东西，从这些信息出发，我们似乎可以把现在大学的解析几何，几乎主体部分的内容，或一种变形，“下放”到高中阶段，也就是，中学数学的几何这条线的最终端，是把解析几何学到足够多的程度，乃至于接近甚至超过于目前的大学普通教材。
这个视角，目前好像还没有人重视到，一般人首先看的是微积分，线性代数，没有意识到解析几何。其实，解析几何是最应该（几乎）完全下放到中学的，至少对于优秀学生来讲，这样子，国内大学数学系也就不用开解析几何课程了，跟国外数学系一样。
。。。融入三角函数，复数。。。并且是线性代数和微积分的必须先修内容。
所以说，高中数学阶段，应该强调解析几何，这个观点，似乎目前搞数学教育提出的还比较少。并且，解析几何的用处是相当大的，随着机器人时代的到来，3D打印时代的到来，解析几何这门学科，也许将会得到重新的重视。
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A4. 组合数学1+X
组合数学，对于学习概率统计，对于学习计算机科学，无疑是基础的。至于学到什么程度，至少包含以往各届课标的内容吧，这方面不能精简，只能增加，因为要面对的是未来世界的需求。
平面几何，确实对于大学数学，没什么真正应用了，主要是一种思维上的训练，一种玩具级的操演，虽然其难度，本质上是大学教科书级别的，而且是数学系教科书。
这种难度，是一种思维上的难度，不是做题技巧上的难度，所以，跟我们在A2篇中说的不矛盾。本质上来说，是思维训练上的一种通识教育。
A3和A4，则对大学数学，以及相关其他科学领域，都会有重要的、直接的应用了。所以说，平面几何课程，可以在传达思维训练的过程中，适当的减少一些传统的教学内容，但是再减，不能把公理本身给减了，那样就成笑话了，平面几何的公理本身，及其那些最底层的逻辑推导，是不能减的，而且那些证明也都挺短，篇幅也都不长，关键还是在于，老师讲授时，要传达的是如何理解。
教材编写，实际上是一件很重要的事。因为普通的中小学数学教师，他们依据的还是教材，他们的知识范围，教学理解，也仍然是教材。如果教材不够水平，那影响的不光是学生，关键是影响到一代又一代的教师，取法乎上，才能得法乎中。
教材如果不讲究，不打磨，那伤害的整个中国的数学教师群体，从这点上说，姜伯驹院士，在过去那些年中，曾经率领一帮数学家跟教育部叫板，也是情理之中，可以深深地理解其心情。
姜院士，如果能够效法于国外大师级数学家，像俄国的Kolmogorov, Gelfand, 日本的小平邦彦，法国的Hadmard, 给中小学生们编写出教材，或者可称作数学读本，如果能够那样就更好了。不光是批评，真正在于建设！
有人可能会说，大数学家写的教材，其实还没有普通老师写的教材那么流行呢，这确实可能是实情。其实，这就像流行歌曲和古典音乐一样，受众面是不一样的，应该允许并鼓励多元化存在。
并且，大师级数学家写的教材，往往有他独到的理解，这种理解，会影响到后继教材的编写，那些流行教材中，很可能就采用了之前大师级教材的一些精要元素，甚至整体框架。这种事情，在大学数学教材上，已经是屡屡发生。
一元多项式理论，往往是在大学数学系第一学期的内容。而中国其他院系，不采用数学系教材的话，基本上都学不到这些数学中最基础的理论，那是非常可惜的。这种情况前面提到过，也就影响到中国那些科技各领域的顶级人才的产出率。
一元多项式理论，对于小孩子来说，还是太难。小教室的孩子们，当年刚进入初中阶段时，老是搞不懂这个，读了几遍，自己觉得懂了，我一问都还是不懂。
项武义曾经编过的中学数学教材，也是放了很多一元多项式理论在初中阶段，我很怀疑这本书的有效性，说是在中国某几个学校用过几年，后来都不用了。我觉得，这是有内在原因，还是得把一元多项式理论放到高中偏后阶段。
并且，二项式定理，无疑要用到组合公式，正好放在这个A4部分。
国外最顶级的数学高中，在教学大纲里面，把图论也放进去了，这是我见过的，最高阶的中学数学教学大纲了。所以，A4部分学完之后，也为后继高阶课程（AP）的学习，做了准备。
Course descriptions — PROOF SCHOOL
抛砖引玉，以求同好！ 我本人不是专业的数学教育出身，只是近年逐渐沾染，而且因为个性懒惰，所以细节也掌握的不多，相当于被小教室的孩子们推着走。
所以，按照我的个性，我是不会自己去写教材的，只是今天正好有灵感，悟到这个框架。那么，未来的教材应该怎么写呢？
我觉得，我们现在都到什么时代了，就没必要由某个人，或者某几个人来把教材写出来。可以在采用同一个教学框架和理念的前提下，类似wikipedia模式，专门建立一个数学教育网站，网站上使用wikipedia的模式，共同写出教材，或者叫做教学读本也行。
这有个好处，适合我这种生性懒惰之人。我有什么比较独到的数学心得，我就填在那个教材的wiki中，但其他部分，就不必由我来写，其他人来写也就可以了。
这样，也就不会把编写教材的人，累个半死，而且也不见得每个部分，都能有他自己的独到想法。天下文章本是一大抄，就看会不会抄，尤其是教育，数学教育已经上百年了，肯定是有很多重复的东西，需要的是精简和整理。
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附注1. 倡导数学家领导数学教育，或者至少为数学教育把关。这个原则是对的，但是执行的时候，也会存在一个问题，数学家那么多，各人的意见也很可能各有千秋，那么倒底听谁的呢？
如果是哪位数学家的名气大就听谁的，实际上也仍然是不健康的，这样不健康的数学家氛围，在中国当前情况下也仍然是需要年青一代们警惕的。关键还是在于学术交流，讨论的机制，不要搞一人堂，别刚出狼窝，又入虎穴。
这种良善的机制建立起来之后，国家领导人也比较好采纳正确的意见了，否则国家领导人并不是数学教育的专家，他们也搞不清楚，谁的见解就一定是对的，并不是谁名气大，领导人就敢相信谁的。
我曾经听过某院士做讲座，大言不惭地说，如果他做了教育部部长，就怎么怎么样，实在水准不怎么样，说明其思维方式，仍然停留在非常原始的程度，即使他已经名列院士，此不可不慎！
附注2. 正文中没有提及奥数。真实的数据是，学过奥数的中学生是非常少的，而且奥数涉及到的那些基础知识，初等数论，组合数学，也仍然是数学上的主干，只不过竞赛题必须难些。
所以，我们不是反对学奥数，而是从数据上看，恰恰是学奥数的中学生，还远远不多。对于学有余力的中学生，我们可以把一些入门级奥数题，穿插在作业中的d段(第4部分)。对于适合的同学们，学完A1-A4之后，有剩余很多时间的话，也就可以学奥数参加竞赛了。
附注3. 我们的教材设计，在课堂内容与习题练习的比例关系上，处于传统教材与PBL方法之间，这个是美国最顶级私立学校Philips Exeter的数学教材，
http://www.exeter.edu/mathproblems
上面完全是习题，资料上没有课堂讲述和解释部分，学生把题做会了，就相当于把这部分知识内容学会了。虽然我们能看到这些题单，但还是不太清楚他们是如何具体地组织教学的，只待以后再有机会了解。
凡事，立框架很重要，立起来一个合适的框架之后，就可以展开“化功大法”，将各种精华吸收进来，为我所用了。希望这篇文章，为将来的数学教育之路，能做出点“抛砖引玉”式的贡献。
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