清‧项名达《下学葊算书》“正弦公式”应用之二

清‧项名达《下学葊算书》“正弦公式”应用之二

上传书斋名：潇湘馆112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世强 Ho Sai Keung

提要：本文取自清‧项名达着之《下学葊算书二》，主要介绍该书之正切余切三角函数。本文亦涉及三角半角函数。

关键词：股旁角  勾旁角  正切 余切

笔者已有文名为〈项名达《下学葊算书》“正弦公式”之应用〉谈及以“正弦公式”解勾股题，本文乃其延续。

“正弦公式”又称为“正弦定理”（The Law of Sines），其定理曰：对于任意三角形ABC，若其角分别为∠A、∠B 、∠C，其对边分别为 a、b 及 c，R为三角形ABC之外接圆半径，则以下等式成立：

=

=

= 2R。此即为正弦定理或正弦公式。

若直角三角形ABC之弦 = c，勾 BC = a，股 AC = b，以下各题皆用此三数，又依惯例，股> 勾，即 ∠B > 45^o。

以下为《下学葊算书》一角之正弦表示法：

1.         ∠A 是为股旁角，股旁角正弦即 sin A﹝见上图﹞。

2.         ∠B 是为勾旁角，勾旁角正弦即 sin B﹝见上图﹞。

3.         半直角四十五度正弦即sin 45^o =

。

《下学葊算书》之正弦公式之表示法：

清代数学界流行所谓“比例四率”，即

=

，移项得：

四率 =

。此四率之算法与正弦公式配合，故可视之为正弦公式之应用。若正弦公式为

=

，视之为比例四率，则 a为一率，sin A为二率，b 为三率，sin B为四率，通常未知数安排为第四率。

在一定程度上，《下学葊算书》能表达清代三角数学之水平。勾股定理在现代数学中本属初中课程，但涉及角之正弦、余弦及正切与三边之和差等，则成为高等数学，现代数学亦罕见此类题目。

以下各题皆取材自《下学葊算书三种‧平三角和较术‧勾股形》。

﹝一﹞有勾有股弦较求两角。

题问已知一勾股形之勾及其股弦较，求两锐角。

解：

先作一勾股形 ABC，作其内接圆，圆心为 O，联 OA、OB，又作 OE 垂直 BC﹝见下图﹞。

以直角三角形ABC 为基础，延长AC 至 K，使AK = AB，CK 是为股弦较，勾及其股弦较乃为已知数。

AO 乃角 A 之分角线，若 ∠BAK = 2θ，∠ABK =∠AKB =

(180 – 2θ) = 90 – θ，所以 ∠CBK = θ=∠OAK，∠OAK是为股旁半角。

θ 为未知数，若求得θ，两锐角即可求。

若CK 为股弦较 = c – b = s，BC = 勾 =a = r，此两数已知。又从勾股形BCK 可知：

tan θ =

=

，θ = tan ^{– 1}

。

∠BAC = 2θ = 2tan ^{– 1}

。

∠ABC = 90^o – 2tan ^{– 1}

。

《下学葊算书》曰：

法以勾为一率，股弦较为二率，半径为三率，求得四率即股旁半角正切，倍之为股旁角，以减九十度为勾旁角。

用比例四率，即

=

，四率 =

。

一率 = 勾 = r，二率 = 股弦较 = s，三率 = 半径，四率为股旁半角正切= tan θ，∠BAC 是为股旁角，股旁半角为θ，而∠ABC 是为勾旁角。

四率 = tan θ =

，此式多一三率“半径”，此值为 1 则合，否则有误。此“半径”相信为配合四率而设，若基本勾股形为勾 3、股 4 及弦 5，则其内切圆半径为1。

验算：

设有一勾股形如上图，诪 A 角与 B 角为未知，已知股弦较 = s = 2 –√3，
勾 = BC = r = 1。求A 角与 B 角。

根据上式 tan θ =

=

= 2 –√3。

此处之“股旁半角”应为 15^o，正切即 tan 15^o，注意 tan 15^o =

。

因为 tan 15 ^o =

=

=

=

= 2 –√3 = tan θ。

比较两式可知 θ = 15 ^o。

即 ∠BAC 股旁角 = 30 ^o。又即可知 ∠ABC 句旁角 = 60 ^o。

﹝二﹞有勾有股弦和求两角。

题问已知一勾股形之勾及其股弦和，求两锐角。

解：

先作一勾股形 ABC，作其内接圆，圆心为 O，联 OA，又作 OE 垂直 BC，延长 CA 至 G，使 AG = AB。∆ABG 是为等腰三角形。容易证明 ∠BGA = θ，即∠BAC 之半，求 θ 。

如上题若求得 θ，即可得两角。

今已知勾= BC = u ，股弦和 = GC = c + b =t。两数为已知。

∠BGA 即 ∠BGC = θ，从下图可知：tan θ =

。

已知股弦和GC = GA + AC = AB + AC = t，又已知勾 = BC = u。

在勾股形GBC 中， cot θ =

=

，θ = cot ^{– 1}

，是为“股旁半角余切”。

所以 ∠BAC = 2θ = 2 cot ^{– 1}

。

即可得 ∠ABC = 90^o – 2θ = 90^o –2 cot ^{– 1}

。

《下学葊算书》曰：

法以勾为一率，股弦和为二率，半径为三率，求得四率即股旁半角余切。如前加减得两角。

用比例四率，即

=

，四率 =

。

一率 = 勾 = u，二率 = 股弦和 = t，三率 = 半径，四率
为股旁半角余切 = cot θ。

四率 = cot θ =

=

。cotangent (cot) 是为余切。

与上题一样，此式多一三率“半径”，此值为 1 则合。

验算：

依旧用正三角形之半验算﹝见上题﹞：

设股弦和为2 + √3，勾为 1，求勾股形之两锐角。

从图可知cot θ =

=

= 2 +√3。

已知 cot 15^o =

=

=

=

= 2 +√3。

比较以上两式所以θ = 15^o，即 ∠BAC = 30^o。

又即可得 ∠ABC = 90^o – 30^o= 60^o。

﹝三﹞有两角有股弦较，求勾、股、弦。

题问已知一勾股形之两角及其股弦较，求勾、股、弦之长。

解：

先作一勾股形 ABC，作其内接圆，圆心为 O，联 OA、OB。勾股形 ABC 之勾长为 a，股长为 b 及弦长为 c，皆为未知数。

以直角三角形ABC 为基础，延长AC 至 K，使AK = AB，CK 是为股弦较，若 ∠BAK = 2θ，∠ABK =∠AKB =

(180 – 2θ) = 90 – θ，所以 ∠CBK = θ =∠OAK，∠OAK是为股旁半角。

若CK 为股弦较 = c – b = s 为已知数，θ 为已知角﹝若两角已知，则θ 亦必可知﹞，又从勾股形BCK 可知：

cot θ =

=

，a = s cotθ。

又延长 CA 至 G，使 AG = AB，连 GB。

以下为勾股形之股弦和较图：

GC 即c + b 是为股弦和。

在 ∆BCK 中，tan θ =

=

，a = s cot θ。

在 ∆BCG 中，tan θ =

=

。

所以 c + b =

=

= scot² θ﹝因为 cot θ =

﹞。

《下学葊算书》曰：

法以半径为一率，股旁半角余切为二率，股弦较为三率，求得四率即勾。又以股旁半角正切为一率，余切为二率，股弦较为三率，求得四率即股弦和。乃与股弦较相加折半为弦，相减折半为股。

用比例四率，即

=

，四率 =

。

一率 = 半径，二率 = 股旁半角余切 cot θ，三率 = 股弦较 = s，四率为勾。

股旁半角正切 = tan θ。

四率之勾 =

，即勾 = a = s cot θ。“半径”之值为 1 则合。

又另一率 = 股旁半角正切= tan θ，二率 = 股旁半角余切 cot θ，
三率= 股弦较 = s，四率为股弦和。

四率之股弦和 =

= s cot² θ。

因为股弦较= s，股弦和 = s cot²θ，

所以 弦 =

(s cot²θ + s) =

s(cot² θ + 1) =

s(csc² θ) 。

股 =

(s cot²θ – s) =

s(cot² θ – 1) 。

第二部分之四率术无用半径为 1 之值，因为连带未知数四率已全。

验算：

依旧用正三角形之半验算：

设股弦较为2 –√3，已知股旁半角 = 15^o。又已知cot 15^o = 2 +√3 及

csc 15^o =

。可知：

勾 = a = scot θ = (2 –√3)(2 +√3) = 4 – 3 = 1 。

弦 =

s(csc² θ) =

(2 –√3)

=

(2 –√3)

= 2。

股 =

s(cot² θ – 1) =

(2 – √3)

=

(2 –√3)

=

(2 –√3)

=√3。

与已知答案合。

﹝四﹞有两角有股弦和，求勾、股、弦。

题问已知一勾股形之两角及其股弦和，求勾、股、弦之长。

解：

所用之图与上题相若。GC 即 c + b 是为股弦和 = t。勾为 a 为未知数。

从勾股形 BGC 可知 tan θ =

=

，即可得 a = t tanθ。

又在勾股形 BGK 可知：

cot θ =

=

，c – b =

，将 a = t tanθ 代入得股弦较得：

c – b=

。

《下学葊算书》曰：

法以半径为一率，股旁半角正切为二率，股弦和为三率，求得四率即勾。又以股旁半角余切为一率，正切为二率，股弦和为三率，求得四率即股弦较。如前加减得股弦。

用比例四率，即

=

，四率 =

。

一率 = 半径，二率 = 股旁半角正切 tan θ，三率 = 股弦和 = t，四率为勾。

四率之勾 =

，即勾 = a = t tan θ。“半径”之值为 1 则合。

又另一率 = 股旁半角余切= cot θ，二率 = 股旁半角正切 tan θ，
三率= 股弦和 = t，四率为股弦较。

四率之股弦较 =

= t tan² θ。

因为股弦和= t，股弦较 = t tan²θ，

所以 弦 =

(t+ t tan² θ) =

t(1 + tan² θ) =

t(sec² θ) 。

股 =

(t– t tan² θ) =

t(1 – tan² θ) 。

勾 = t tanθ。

验算：

依旧用正三角形之半验算：

设股弦和为2+ √3，股旁半角 = 15^o。

已知勾 = a = ttan θ = t tan 15^o = (2 +√3)( 2 –√3) = 4 – 3 = 1。从上可知：

弦 =

t(sec² θ) =

(2 +√3)

=

(2 +√3)

= 2。

股 =

t(1 – tan² θ)

=

(2 +√3)

=

(2 +√3)

=

(2 +√3)

=√3。

与已知答案合。

《下学葊算书》提出一条非常重要之三角公式：

观此四题，知股弦和较之比例，与股旁半角余切正切等，而比其勾者，即半径也。

文意指一勾股形 ABC，所对之边分别为a、b 及c，则

=

。

证明：

从前题可知股弦和 c + b=

，股弦较 = c – b = s，即可得：

=

，其中 θ =

。其实

可化简为 cot² θ。

﹝附录﹞勾股定理之别证法：

参阅第三题之〈勾股形之股弦和较图〉，∆BCK 与 ∆BCG 相似，对应边之比例相等：

=

= tanθ

=

= tanθ

因为

=

，所以 a² = (c – b)(c + b)

c² – b² = a²

c² = b² + a²。

证毕。

至于所谓“而比其勾者，即半径也”，即以下之两式：

第三题四率之勾 =

，半径 =

。

第三题四率之勾 =

，半径 =

。

即 半径 =

=

。

若半径 = 1，则左勾 = s cot θ，右勾 = t tan θ。