常数非常——不应忽视的常数列

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非零常数列身兼等差数列和等比数列两大特性，但由于是由一系列的同一个常数构成，简单明了，因此常常不被人们重视。事实上，把常数列的性质当作一种解题工具，则会大开眼界，妙趣横生。在一些求数列通项的题目中若能适时地构造常数列，则可避免复杂的累加、累乘或迭代等过程，从而使求数列的通项公式一步到位。因此，在解决相关问题时，常有事半功倍之效果。

通过构造常数列求通项公式主要是利用性质2。

一

应用

常见的常数列

根据递推关系从和、差、积、商的结构和角度归纳一下常见的常数列，如下所示：

小贴士

下面结合具体事例说明上述方法的使用，我们从中可以体会到，由于避免了用累加法和累乘法，表达上显得特别简洁和快捷。

二

引申

突破难点错位相减法

众所周知，错位相减法是解决形如｛(an+b)x^n｝的数列求和问题的常规方法。借助错位相减法求解此类问题时，必然要用到等比数列的求和公式，通常还会遇到繁分式化简、指数幂的运算等繁琐运算，对学生的运算能力要求较高，因而学生出错率高。下面将借助待定系数法构造常数列来突破此难点。

上面是一般思路，下面用一个具体问题来体会如何用待定系数法变成常数列而解决求和问题：

事实上，在人教版A版教材数学必修5第二章《数列》中，处理求等差数列、等比数列的通项公式的方式并不严谨，用的是不完全归纳法，严格来说，还需要用数学归纳法证明，但必须是在学习选修教材2-2后才能证明。那么如何在现有的认知基础上，严格推导等差数列及等比数列的通项公式呢？利用常数列思想，即可简洁的证明，证明如下：