线性代数专题1——搞不懂线性代数是在讲什么？

写在前面：线性代数是一门非常有用，且实用性很强的基础学科，但是如果没有掌握其精髓，你会觉得它并不是很好理解，做这个专题的目的是向大家普及线性代数这门课程的核心概念，让大家理解线性代数这么课程的本质。如果大家感兴趣，可以看我做的这个系列的视频，主页上可以找到。

线性代数这门课程是绝大多数理工科同学都要学习的，相信很多同学跟我当时一样，基本上是一脸懵逼地学完，完全不知道是在讲什么，有什么用（最多认为可以用来求解线性方程组），对这一套理论体系没有任何认识。把大量精力用在各种计算技巧上，当然这并不是我们的错，毕竟考试还是需要认真对待的。所以，就出现了一个很有意思的现象：即使我完全不知道这门课程在讲什么，但是丝毫不影响我考班上第一名。

学习线性代数这么课程最大的误区就在于进入各种计算的汪洋大海中无法自拔，计算行列式，计算矩阵的秩，计算逆矩阵，计算特征值和特征向量……但我们缺乏思考，比如行列式的计算规则那么奇怪，为什么呢？矩阵乘法计算也是那么反人性，为什么会设计出这样的计算规则？我们忽略了这门课程本来的面目，其实当你理解了线性代数本身的理论体系后，会发现这门课程非常的有趣，所有的计算规则是那么的理所应当。

顺便问大家几个问题测试一下对课程的理解程度：

这门课程中的矩阵有什么用？矩阵和线性变换的关系是什么？其实给定一个矩阵，就确定了线性变换后的样子，矩阵就是用来描述线性变换的。矩阵的列向量代表变换后的基向量，只需要考虑基向量就可以知晓整个变换过程。线性变换的过程保持原点不变，坐标网格平行且等距分布，如图一和图二所示。

图一 变换前的坐标网格和基向量

图二 变换后的坐标网格和基向量

再比如行列式这个概念，我们知道怎么计算，但是其实行列式有非常明显的几何意义，在二维空间中，是肉眼可见的。行列式代表线性变换后和变换前的面积比（如图三、四所示），也称为线性变换的伸缩因子。如下图，注意黄色部分的面积，变换前后是否发生了变化。形状发生了改变，但是面积和原来相等，因为这个变换矩阵的行列式为1，表示变换后的面积和变换前的面积比值为1，所以是相等的。