2020中考数学几何压轴题

分析：半径已知为4，弦长AB=4√3，D、E是两个中点

（1）根据半径长度和弦长AB，不难看出△OAB三边已知

那么结合垂径定理，过O做AB的垂线，

如图，OF⊥AB于F

那么BF=2√3，OB=2

可得sin∠BOF=√3/2

那么∠BOF=60°；

所以∠AOB=120°；

（2）P是△ODE的外心，外心不就是垂线平分线的交点吗

根据D和E分别是AC和BC的中点

可知OD⊥AC，OE⊥BC

但是这些和△ODE有什么关系呢？

既然P是外心，那么肯定得是OD、OE、DE的垂直平分线的交点吧

这个点P究竟处于哪个位置呢

我们想想看，点P肯定随着点C的移动而移动

那么肯定和C有所联系了

所以我们连接OC看看有没有线索

如图，如果我们再做出OD和OE的中垂线

看着图形，仿佛点P是落在了OC上

观察△ODC和△OEC

都是直角三角形，而且OC是它们的斜边

说明OD的中垂线经过OC中点，OE的中垂线也经过OC的中点

那么点P的位置其实就是OC的中点

所以当C从A跑到B时，P就从OA中点跑到了OB中点

当然OP的长度不变，始终为OC的一半

所以P的轨迹其实就是半径为2，圆心角120°所对应的弧长4π/3；

（3）根据中位线可知DE长度固定不变，恒为AB的一半，即2√3

那么△ODE和△CDE的面积可以看作用DE当做底来计算

而题中给的是S1²-S2²=21，也就是面积的平方的关系，但是我们现在连面积还没表示出来，就别提平方了

所以我们可以将式子变变形，

（S1+S2）（S1-S2）=21

面积相加刚好是四边形ODCE的面积，为四边形OACB面积的一半，但C的位置未知，所以暂不知如何表示

面积差倒可以利用同底、高之差来表示

根据DE是△ABC的中位线可知C到DE的距离等于DE与AB之间的距离

我们延长OF∠DE于G的话，

以DE为底，△ODE的高-△CDE的高=OF=2

（省去了一些辅助线和计算过程，大家自己补充）

那么S1-S2=0.5·DE·（△ODE的高-△CDE的高）=2√3

所以S1+S2=7√3/2

即四边形ODCE面积为7√3/2

则四边形OACB面积为7√3

而△OAB的面积为4√3

所以可得△ABC的面积为3√3

结合AB的长度4√3

可得C到AB的距离为1.5

那么我们还得知道这个距离如何能利用，别忘了题上要的是AC长度

如果用C到AB的距离+O到AB的距离，不就可以将OC放入直角三角形中吗？

如图，过C作CH//AB交OG延长线于H

则OH=3.5，结合OC=4

可得CH=√15/2

现在距离求AC又近了一步

现在想办法将AC也放入直角三角形中吧

过C作AB的垂线

如图，CM⊥AB

则可得MF=CH=√15/2，CM=3/2

那么AM=AF-MF=2√3-√15/2

Rt△AMC中，结合勾股定理

AC²=AM²+CM²=18-6√5

开平方吧

首先有个√5，所以凑完全平方的时候要有一个5的平方，刚好从18中分离出5，那么剩下13，不行；

如果从18中分离10，那么就是√10的平方和√8的平方，但是凑不出6√5，也不行；

那么如果将18拆分成15和3，即√15的平方和√3的平方，刚好能凑成完全平方，

所以AC²=（√15-√3）²

所以AC=√15-√3

完了吗？

别忘了我们得到的满足C到AB距离为1.5的C，只画出了如图一种情况，即C离A较近，还有一种C比较靠近B的情况，刚好关于OH左右对称吧

所以另一种情况下的AC也就等同于本情况下BC的长度

所以我们不再画图了，就直接求一下BC的长度

BM=2√3+√15/2

BC²=BM²+CM²=18+6√5

根据刚才凑完全平方的经验，只需要将“-”换成“+”即可

所以BC=√15+√3

即另一种情况下AC长度为√15+√3；

综合以上，可得AC=√15±√3；