挑战压轴题：中考数学-二次函数（2015）
今天这道压轴题仍旧提供两种方法给同学们，一种和答案的方法一致，另一种仍旧是直线平移法，同学们可以根据自身能力选择适合自己的方法。
老规矩：如发现过程中出现错误，请于留言中为大家指出，谢谢！
说实话，当初第一次解这道题的时候，老师并没有现在的解题能力，很多压轴题也是解不出来的，但是就目前来看，再去解析数学压轴题，好像每一种都能找到解决方法。先解析吧，
（1）抛物线的解析式，送分部分，关于y轴对称，所以没有一次项，顶点是C，所以解析式中对应c值为8，又过点A，开口朝下，所以对应a为-1/8，那么解析式就是：
（2）要证明PF和PD的长度差值是定值，首先就要有二者的长度，这一问如果想要去找更简便的方法，貌似不容易，所以最简单的方法是什么呢？就是最笨的方法，分别表示出PF和PD的长，
假设点P的横坐标是x，那么就能得到PF和PD的长了，
同时PD为，
∴PD-PF=2，恒为定值；
（3）D和E都是固定点，△PDE面积是整数的点P，或者周长最小时的点P，很明显，这一问就是压轴内容。
首先周长最小的情况，对同学们来说应该是最容易发现的吧？
PD+PE+DE，PD和PE是未知的，但是PD=PF+2，所以PD+PE=PF+PE+2，那么也就是PF+PE最小的时候，三点共线时线段和最小，所以此时点P的横坐标为-4，那么坐标为（-4,6）；
再来看面积是整数的情况，
如上图，我们做一个点P的位置，连接PD、PE、DE，根据平时大家的习惯，再作PQ⊥x轴于Q，△PDE的面积=四边形PQOD的面积-△PQE面积-△ODE面积；
仍然假设点P的坐标为x，而△ODE的面积为12，
那么PQ中含有x²项，OQ中含有x，所以面积会涉及到x³，所以没有办法计算整数情况，也就是说这样去分析的话，根据目前大家所学知识肯定解不出来。
所以，需要换一种思路，
连接OP，△OPE面积+△ODP面积-△ODE面积=△PDE面积，这样OE和OD分别当做底，而且都是已知量，最后的面积为，
可见其面积符合抛物线的性质，x取值范围是-8到0，对称轴为x=-6，所以最大值为13，最小值为4，面积从4到13的整数一共10个，但是注意x=-5和x=-7的时候，面积都是12，所以点P的个数是11个，
这个时候有同学就会说，所以点P的个数是12个，如果真这样的话说明这些同学根本就没有去验证点P横坐标为-4时是不是也这11个范围内，
我们将x=-4带入进去，面积也是整数，所以说周长最小的时候点P的位置和面积是整数的情况有一个是重复的，因此总数是11个。
那么这道题有没有别的方法呢？仍然直线平移法，但是涉及点到直线的距离计算，如果不会利用三角函数计算的同学，还是不要尝试该方法。
当点P在C处时，我们知道△PDE面积最小，是4；
那么什么时候面积最大呢？我们可以利用直线平移法，找到面积最大时候点P的位置，将DE进行平移，假设平移后的解析式，然后与抛物线建立方程，使判别式=0，解出平移后的直线解析式，然后再解出点P的坐标，
而这个时候计算面积需要用到点到直线距离的计算，初中阶段可以利用三角函数来解决，然后计算出面积最大时以DE为底，△PDE的高最大值为
所以面积就可以计算出来是13，那么点P的个数怎么去计算呢？
底边DE中有根号13，那么只要高h中也含有根号13就可以将根号化简掉，结果就能凑出整数，所以很明显高h中必须要有根号13，那么就只有改变根号前面的系数了，系数最大才是1了，所以只能是分数，那么这个时候又出现分数了，如何确保最终的面积是整数呢？只要分母是13的分数，过程的根号13经过平方后就变为13，所以分母就消掉了，那么小于1的且分母是13的最简分数有13个，但是我们知道面积最小是4，也就是说高h最小时，分数为4/13，所以分子从4到13一共10个，
同时，在利用直线平移法的时候，就需要考虑比较全面，在向左平移直线DE的过程中，直线过点A时起，到和抛物线只有一个交点的这个过程中，x轴上方（含x轴）的交点是有两个的，所以产生的点P也是有两个，那么就需要计算直线平移过点A时的点P所形成的△PDE的面积，此时计算出面积为12，而面积为13时只有一个点P，面积为12的时候有2个，12到13之间没有其他情况了，所以面积=12的时候有两个点P，所以一共是11个，
到了这个时候，周长最小的情况时点P的位置也需要去进行验证，看是否符合面积为整数的情况，所以将P（-4,6）代入三角形计算面积后发现也是整数，这就表明前面11个点已经包含了该点P，所以综合上面所有情况，点P的个数一共是11个。
周长最小的点P前面已经给大家了，所以这里就不再重复给出了。
最后我们来总结一下：
使用面积相减的方法，必须能够考虑到连接OP，不创造x³出来，否则没办法去计算，成功列出面积的关系式后，一定要能想到转化顶点式，然后结合x的取值范围，找到面积的对应范围，范围内的整数个数就是点P的个数；
使用直线平移法利用三角形的高h来判定个数的方法，必须要掌握住点到直线的距离计算方法，否则根本没戏，同时还要能注意到平移后的直线与抛物线两个交点都在第二象限和x轴上的情况，否则就会漏掉点A的情况；
最后一定要记得验证周长最小时的点P是否已经重复；
所以第一种面积相减的方法更容易去计算，而直线平移法虽说更容易理解，但是对于大多数同学来说，涉及到的计算量并不少，尤其是点到直线的距离，属于高中才会普遍学习的内容，初中阶段只能利用辅助线+三角函数去解决，因此，一定要选择自己擅长的方法。