中考数学：高难度几何压轴题

今天这道题原本以为是以前遇到过的一道个人经历中最难的那道几何证明题，后来发现不是，不过难度系数也挺高了。

这道题对多数同学来说，中等难度起步，到第三问的时候就属于高难部分了。当大家审题后，不难发现，第一问还是很快就能解答出来的，

第二问的证明过程可能对于很多同学来说具有一定的复杂性；

第三问的话，如果思考过程中没有逻辑性，只要没写过这道题，恐怕就不会在一时半会将其解答出来。

（1）AC的长度有了，那么在Rt△ABC中，有60°角，那么就可以求出来AB了；H是AC中点，那么AH就可以已知了，在Rt△ADH中，∠DAH=90°-∠BAC=30°，所以可以求出AD的长度，在Rt△DAB中，根据勾股定理就可以求得BD了；

（2）根据图形可以很明显看出HF和EF分别在两个三角形中，那是不是只需要证明其全等即可？大家只需要去寻找条件，看是否成立。

点F是BD中点，所以AF=DF，一个条件了；

Rt△DAE和Rt△ADH，可以很轻松证全等吧，所以可得DH=AE，第二个条件了；

那么第三个条件肯定就需要角相等了，这个条件估计会有一些同学看不出来，其实还是要善于思考，根据刚才的两个小直角三角形全等，可以得到∠ADH和∠DAE是相等的，那么又有DF=AF，所以∠ADF=∠DAF，因此它俩减去一个相等的角，剩下∠FDH=∠FAE，第三个条件了；

那么接下来全等就行了；

（3）以下红色字体部分是为同学们提供的思维切入方法，对同学们可能会有所帮助。

这一问证明等边三角形，大家都知道，方法有两种，要么三边相等，要么两边相等且有60°角，那么这道题怎么解决呢？我们先来看△CEF，既然要证明是等边，那么我们就认为它是等边的，那么这个三角形的顶点C被吊起来，它是不是可以来回旋转呢？

那么我们让它顺时针旋转到CE和AC重合时，CF转过的那角度是不是就和∠ACE相等呢？然后我们把新的CE延长一下，和AB交于点M，这样再连接FM的话是不是看着就产生了一个和△ACE很像的三角形呢？

如上图所示，但是问题是咱们还没证明△CEF是等边呢，然而我们找到了点M这个有利条件，就刚才咱们假设的而言，如果△ACE和△MCF是全等，那么AC和CM就是相等的，那我们是不是可以倒回去，制造一个AC=CM出来呢？

根据已知条件可得，AC是AB的一半，那么如果CM也是AB的一半不就解决了吗？直角三角形中，等于斜边一半的，很容易就能想到斜边的中线，所以，我们就找到了切入点，

取AB的中点M，连接MF、MC，∵F是BD中点，所以MF是中位线，

∵AC⊥AB，∴MF⊥AB，

同时，△ACM很容易就能得到是等边三角形，∴∠AMC=60°，AC=CM，那么∠CMF不就是30°吗？

再回到题干中，AE是角平分线，所以∠CAE=30°；

这下有两个条件了吧？再找一个条件就OK了。

有同学会说，再找一个角就行了，如果我们能找到另一个角相等，那么不就是说三个角都是相等了吗，那∠ACM=60°，岂不是∠ECF也是60°了？问题是会有这么容易吗？所以很明显找角相等已经不太现实了，那么只能找边相等了，已知一个角一条边了，那么再找边的话，只能SAS，也就是AE和FM了；

其实说起FM，估计大家都能想起它是中位线，所以FM是AD的一半，那么AE呢？∠MAE是60°嘛，所以在Rt△DAE中，AE所对的角是30°，因此AE是AD的一半，所以AE=FM；

现在全等的条件足够了，那么△ACE≌△MCF；

∴可以得到CE=CF，∠ACE=∠MCF（这个时候才能得到它俩相等）

∠ACE+∠ECM=60°，所以∠MCF+∠ECM=60°，

所以∠ECF=60°，又是等腰，

∴△CEF是等边三角形。

这道题给大家的解析过程，由于牵涉到一些问题假设，方便同学们理解，所以内容比较长，想要掌握这道题的同学一定要认真看一看，尤其是点M这个切入点如何能想到，这些对大家考试解题是很有用处的。