八下15讲 相似基本模型3 旋转“手拉手”与位似形

写在前面

前两讲中，我们主要介绍了相似中最常见的4种模型，A型，X型，母子形，一线三等角型．这一讲，我们介绍最后的2种，涉及图形的变化，即旋转“手拉手”和位似形．

一、模型建立

旋转型

小结：

旋转全等变化必有一对全等三角形，

另一对相似的等腰三角形．

旋转型

小结：

旋转放缩变化，必有两对相似三角形．

二、实战分析

例1：

分析：

解答：

例2：

分析：

解答：

三、模型再建立

位似型

小结：

四、实战再分析

例3：

如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(－1，1)，点C的坐标为(－4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是_____．

分析：

无论是根据一个图形和已知的位似中心，画位似图形，还是给出2个位似图形，确定位似中心的位置，我们都分两种情况确定对应点，且对应点的连线必然交于位似中心．

当两个图形在位似中心同侧，则C、F对应，B、E对应，D、G对应，A、O对应．

当两个图形在位似中心两侧，则C、O对应，B、G对应，D、E对应，A、F对应．

不难发现同侧情况下，D、G，A、O交点在x轴上，不妨求出CF连线所在直线的解析式，其与x轴交点即为位似中心．

而在两侧情况下，可以选取较为好求交点的两条直线，如CO，DE．

解答：

例4

分析：

(1)利用位似图形的性质，连接AP并延长交BC于点P′，再以P′为一个顶点，即可作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如图①所示；

(2)根据正方形E′F′P′N′上方小三角形与整个大三角形相似，高之比等于相似比，建立方程求得正方形E′F′P′N′的边长；

(3)利用好特殊角60°，能表示出AD，DE，EF，FB的长，四条线段长度之和为定值，则可以得知两正方形的边长之和为定值，则周长也为定值．

解答：

(1) 正方形E′F′P′N′即为所求

例5

分析：

(1)问两空都不难，主要在于(2)问的图形看着较为复杂，但实际是纸老虎，因为已经提醒你两对三角形旋转相似了，因此，把两次旋转相似变换的表示方法求出来，找到其中的旋转角和放缩情况，题目也不难矣．

解答：

(1) ①2，60°  ②2

还有