面积计算（二十二）

三角形的面积计算是其他几何图形面积计算的基础。如同初中的几何课程编排一样，先三角形再四边形，这样的逻辑顺序其实从小学就开始了。

事实上，任何一个凸四边形连接其中一条对角线就可以将其分成两个三角形——这就是化归。没错，无处不在的化归又来了。当四边形转化成三角形后，就进入到我们熟悉的作战领域了。

当然，四边形还是有自己的特点。和三角形相比，四边形或者其他多边形有一样东西是三角形所不具备的：对角线。

如果是一些特殊四边形的对角线会有很好的性质，比如互相平分或者互相垂直等等。当然这些结论更多的是用在平面几何的证明，可事实上四边形面积相关的题目中，对角线的作用往往也不可忽视。

例：已知四边形ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，求证：四边形DEBF的面积是四边形ABCD的一半。

先来个下马威——小学生极少碰到证明题，拿到题目懵圈的是大多数。

怎么破题？

其实很好破——这是一道披着证明外衣的计算。那么问题来了：一般四边形的面积怎么算？

很显然除去绘画水平的因素，这个ABCD是个普通的扔在题海中也不值得多看一眼的普通四边形，公式？当然四边形也有类似三角形面积中海伦公式的结论，但是小学生处理根号是不现实的。何况就算知道ABCD的四条边长a,b,c,d，那么DEBF的四条边长该如何用a,b,c,d表示？余弦定理？搞大了吧！

所以必然是分割，而分割的首选是三角形。

有朋友会问：那为什么不是等积变换？找一个图形的面积等于ABCD面积的一半，同时又恰好等于DEBF？

那么平行线作在哪里？之前我们的例子中找一条直线等分任意四边形的面积，如果注意到那条直线的位置其实挺丑陋的，那么也差不多可以放弃等积变换的念头了。

当然，试错是值得的，关键是要知道回头。掌握了基本方法之后，知道什么时候用恐怕比方法本身更重要。如果不能直接判断，走两步弯路之后马上能回到正轨就是好的。

此时我们有三种选择：连AC或者BD或者EF。事实上，你如果想到这里的话，题目就做完了。

凭你的直觉，你觉得这三条应该连哪条？

必然是BD。理由？因为BD既是ABCD的对角线，又是DEBF的对角线，这个理由还不够充分么？

辅助线的作用是什么？

桥梁。既然三条线中，BD恰好能把目标和条件联系在一起，这难道不是最好的辅助线么？我们注意到，E,F分别是AB和CD的中点，因此△AED和△DEB等积，△DBF和△FBC等积，所以四边形DEBF的面积等于△DEB和△DBF的和，恰好是四边形ABCD面积的一半。命题得证。

顺便说一句：这会是个非常好用的结论，因为条件是对任意四边形成立。像这种几乎没什么特殊要求的也要适当记一些，因为没准就会派上大用场。

作为家长，你的归纳总结能力应该是高过孩子的，你的作用就是帮助孩子逐步地归纳总结出一般性的规律，比如辅助线的作用，就是把那些杂乱无章的条件给联系起来，把不同的图形联系起来，像这种指导性的意见在这个阶段很大程度上是你的工作哟，否则孩子刷再多的题，也只是提升熟练度，而不是提高了数学水平。